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彼得·朔尔茨

\刚性分析品种的（p）-adic Hodge理论。 （英语） Zbl 1297.14023号

论坛数学。圆周率 1，论文编号：e1，77 p.（2013）; 更正同上，Pi 4，第e6号论文，第4页（2016年）。
从介绍中可以看出：
“本文开始研究刚性分析变种的（p）元比较定理在多大程度上保持正确。到目前为止，这种比较同构主要是针对（p）-元域上的方案进行的研究，但我们打算在这里表明，整个理论自然扩展到（p）上的刚性分析变型-adic字段。当然，这与经典霍奇理论类似，后者最自然地是用络合物分析空间表示的。”
定理1.1。设（K）是（{mathbbQ}_p）的完全代数闭扩张，（X/K）是一个适当的光滑刚性解析簇，（{matHBbL}）是（X{text{ét}}）上的一个局部系统。那么\（H^i（X_{text{ét}}，{mathbbL}）\）是所有\（i>0\）的有限维\（{mathbb F}_p\）-向量空间，对于\（i>\ dim（X）\）它消失。
“我们建立在Fallings的几乎étale扩张理论的基础上，该理论被完美空间理论所放大。[…]我们引入了pro-tale站点（X_{text{proét}}），其开放子集的形式大致为（V\ to U\ to X\），其中（U\ to X）是一些étaly态射，和（V\ toU\）是有限étale映射的逆极限。然后，proétale拓扑中的X的局部结构更简单，即它是局部完美体。这相当于提取了塔中装置的大量功率根（V到U）。”
定理1.2。设\（X\）是\（K\）上的一个连通仿射刚性分析簇。那么\（X\）是\（p\）-扭转系数的\（K（\pi，1）\），即对于\（X\）上的所有\（p\）-扭转局部系统\（｛\mathbb L｝\），自然映射\[H_｛\text｛cont｝^i（\pi_1（X，X），｛\mathbb L｝_X）\longrightarrow H^i（X_｛\text｛ét｝｝，｛\mathbb L｝）\]是一种同构。这里，x（K）中的（x）是一个基点，（pi_1（x，x））表示profiniteétale基本群。
“这个定理意味着，（X）在proétale位置是“局部可收缩的”，至少对于（p）-扭转系数是这样的。”
定理1.3。在定理1.1的情况下，所有（i\geq0）的\（{\mathcal O}_K\）-模几乎同构，\[H^i（X_{text{ét}}，{\mathbb L}）\times{\mathcal O}_K/p\longrightarrow H^i。\]更一般地说，假设\（f:X\toY\）是\（K\）上刚性分析变体的适当光滑态射，并且\（｛\mathbb L｝\）是\（X_｛\text｛ét｝｝｝\）上的\（｛\mathbb f｝_p\）-局部系统。然后，所有\（i\geq0 \）几乎都是同构的，\[（R^if_{\text{ét*}}{\mathbb L}）\otimes{\mathcal O}_Y^+/p\longrightarrow R^if{\text}}（{\mathbb L}\otimes{\matchcal O}_X^+/p）。\]
“[…]我们在\（X_{text{proét}}\）上引入了轮，我们称之为周期轮，因为它们在\（X）的pro-tale覆盖上的值给出了周期环。其中是层\（{mathbb B}{dR}^+），这是方丹环\（B_{dR{^+）的相对版本。在我们的设置中，我们可以将其定义为\（X_{text{proét}}\）上的本地自由\（\hat{mathbbZ}_p\）-模块，其中\{限制}_{\leftarrow}{\mathbb Z}/p^n{\mathbb Z}\）作为\（X_{\text{proét}}\）上的滑轮。然后，（{mathbb L}）在（X_{text{proét}}）上产生了一个（B_{dR}^+）-局部系统\[H^i（X_{text{ét}}，{mathbb L}）\otimes B_{dR}^+\cong H^i。\]
定理1.5。设（X）是（k）上的光滑刚性解析簇，其中（k）是（{mathbbQ}_p）的完全离散值非阿基米德扩张，具有完美剩余域。然后，从具有满足Griffiths横截性的可积联系的滤（{mathcal O}_X\）-模范畴到（{mathbb B}_{dR}^+）-局部系统范畴，存在一个完全忠实函子。”
定理1.6。设（k）是（{mathbbQ}_p）的完全离散值非阿基米德扩张，具有完备剩余域（kappa）和代数闭包（bar{k}），并且设（X）是（k）上的一个适当光滑刚性分析簇。对于（X）上任何与关联的（{mathbb B}_{dR}^+）-局部系统（{mathbb M}）的lisse（{mathpb Z}_p）-层（{mat血红蛋白L}），我们有一个（text{Gal}（上划线{k}/k））-等变同构\[H^i（X_{上划线{k}}，{\mathbb L}）\otimes_{{mathbb Z}_p}B_{dR}^+\cong H^i。\]如果\（{mathbb L}\）是deRham，带有可积连接的相关滤波模\（（{mathcal E}，nabla，text{Fil}^{bullet}）），则Hodge-de-Rham谱序列\[H_{text{Hodge}}^{i-j，j}（X，{mathcal E}）\右箭头H_{dR}^i（X，}）\]退化。此外，\（H^i（X_{上划线{k}}，{mathbb L}）\）是\（text{Gal}（\overline{k}/k）\）的de-Rham表示，带有相关的过滤\（k\）-向量空间\（H_{dR}^i（X，{mathcal E}））。特别是，存在一个\（text{Gal}（\上划线{k}/k）\）-等变同构\[H^i（X_{上划线{k}}，{\mathbb L}）\otimes_{{mathbb Z}_p}\hat{\overline{k}{cong\bigoplus_j H_{text{Hodge}}^{i-j，j}（X，{mathcal E}）\times_k\hat}{\overrine{k{}}（j）。\]
“有趣的是，在（p）-adic情况下，这个结果不需要‘Kähler’假设。”
[..]
“我们注意到，[定理1.6的]这个证明是直接的：所有需要的同构都是通过直接参数证明的，而不是通过在两个上同调理论之间生成映射，然后通过抽象参数证明它必须是同构。”
[..]
“事实证明，我们的方法足够灵活，可以处理相关情况。”
审核人：Elmar Große-Klönne（柏林）

引用于9评论
引用于88文件

理学硕士：

14楼30 \（p）-根上同调，晶体上同调
14国道22号 刚性分析几何
14层20 Etale和其他Grothendieck拓扑和（co）同调
14G20（二十国集团） 代数几何中的局部地面场

关键词：

完美空间;刚性空间;几乎是故事;比较同构;proétale网站
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{P.Scholze}，论坛数学。Pi 1，论文编号e1，第77页（2013年；Zbl 1297.14023）
全文： 内政部 arXiv公司
OA许可证

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