罗马人Vershynin 对称随机矩阵的可逆性。 （英语） Zbl 1291.15088号 随机结构。算法 44，第2期，135-182（2014）。 本文主要研究了（n次n）随机矩阵（H）的可逆性问题，该问题主要涉及两个问题。1.奇点概率是多少？2.（H）逆的谱范数（H^{-1}）的典型值是什么？设（H）是一个（n次n）实对称矩阵，使得上述对角项是具有零均值和单位方差的独立同分布随机变量。对角线条目可以是任意数字，可以是非随机的，也可以是随机的，但与非对角线项无关（属性\（\mathbf{H}\））。让我们用（lambda_{k}（H）），（k=1，2，dots，n）表示（H）的非降序特征值，用（sigma（H）表示（H\）的谱。如果我们假设非对角项具有有限的四阶矩和（M>0），那么对于每一个（z\in\mathbb{R}）和（epsilon\geq0），我们得到\[\mathbb{P}\{min_{lambda_{k}\in\sigma（H）}|\lambda{k}-z|\leq\epsilonn^{-1/2}，\|H\|\leq Mn^{1/2}\}\leq C\epsilen^{1/9}+2e^{-n^{C}}，\tag{1}\]其中，\（C\）和\（C>0\）仅取决于\（M\）以及\（H.\）项的四阶矩谱范数的界通常可以免费从（1）中去掉，因为在四阶矩假设下总是具有高概率的（H=O（n^{1/2}）。通过对对角线条目施加一些约束，也得到了此方向上的一般结果。此外，对于某些随机矩阵的系综，具有指数高概率的（H=O（n^{1/2}）。这在较高矩假设下成立，即\（\mathbb｛E｝[\exp（h^{2}_{i，j}/K^{2}）]\leqe），\（i\neqj），用于某些数字\（K>0）。这种随机变量（h{i，j}）称为次高斯随机变量，最小值（K）称为（h{i，j{）的次高斯矩。亚高斯随机变量类包含标准正态、伯努利和所有有界随机变量。在这种情况下，已知\（\|H\|=O（n^｛1/2｝）\）的概率至少为\（1-2e^｛-n｝\）。如果（H）满足性质（mathbf{H}），并且非对角项是次高斯随机变量，对角线项满足某些（S）的（|H_{j，j}|leq-Sn^{1/2}）\[\mathbb{P}\{\min_{\lambda_{k}\in\sigma（H）}|\lambda{k}-z|\leq\epsilon n^{-1/2}\}\leq C\epsilen^{1/9}+2e^{-n^{C}}，\tag{2}\]其中，\（C\）和\（C>0\）仅取决于\（S\）和亚高斯矩\（K\）。这是关于（H）特征值的离域化的一个声明，在这个意义上，对于实线和长度（o（n^{-1/2}）的任何固定区间（I），（I）中都没有高概率的特征值。从（2）中，对于\（epsilon=0），奇点概率的指数界如下。另一方面，考虑预解式的谱范数，对于（z=0），得到了逆的范数和（H）的条件数的界。这些结果改进了由K.P.科斯特洛等[Duke Math.J.135，No.2，395–413（2006；Zbl 1110.15020号)]. 他们还将L.Erd公司等【国际数学研究，2010年，第3期，436–479（2010；Zbl 1204.15043号)]对于条目具有连续分布且具有一定光滑性的矩阵，假设对角条目是具有零均值和单位方差的独立随机变量，以及陶哲轩和V.Vu公司[数学学报206，第1期，127-204（2011；Zbl 1217.15043号)].审核人：弗朗西斯科·马塞兰（Leganes） 引用于2评论引用于70文件 MSC公司： 15B52号 随机矩阵（代数方面） 60对20 随机矩阵（概率方面） 关键词：对称随机矩阵;可逆性问题;奇异概率;谱范数;特征值;光谱;条件编号 引文：Zbl 1110.15020号;Zbl 1204.15043号;Zbl 1217.15043号 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{R.Vershynin}，随机结构。算法44，No.2，135--182（2014；Zbl 1291.15088） 全文： 内政部 arXiv公司 链接 参考文献： [1] N.Alon和J.Spencer，《概率方法》，第二版，Wiley‐Interscience，纽约，2000年·兹比尔0996.05001 [2] J.Bougain、V.Vu和P.Wood，《关于离散随机矩阵的奇异概率》，《函数分析杂志》，2582010559-603·Zbl 1186.60003号 [3] K.Costello，Littlewood‐Offord问题的双线性和二次变量，2009年，提交出版（2009年）。 [4] K.Costello，T.Tao和，V.Vu，《随机对称矩阵几乎肯定是非奇异矩阵》，Duke Math J，135，2006，395-413·兹比尔1110.15020 [5] L.Erdös、B.Schlein和H.‐T。Yau，Wegner估计和Wigner随机矩阵的水平排斥，《国际数学研究》，2010年第3期，436-479页·Zbl 1204.15043号 [6] F.Götze，二元von Mises泛函的渐近展开，Z Wahrsch-Verw Gebiete501979，333-355·Zbl 0405.60009号 [7] J.Kahn、J.Komlós和E.Szemerédi，《关于随机矩阵奇异的概率》，美国数学学会杂志，8，（1995），223-240·Zbl 0829.15018号 [8] R.Latala，随机矩阵范数的一些估计，Proc Am Math Soc133（2005），1273-1282·Zbl 1067.15022号 [9] H.Nguyen，逆Littlewood‐Offord问题和随机对称矩阵的奇异性，Duke Math J（出版）·兹伯利1276.15019 [10] H.Nguyen，关于随机对称矩阵的最小奇异值，提交出版·Zbl 1251.15014号 [11] M.Rudelson，《随机矩阵的可逆性：逆的范数》，Ann Math168（2008），575-600·Zbl 1175.15030号 [12] M.Rudelson和R.Vershynin，《Littlewood‐Offord问题与随机矩阵的可逆性》，Adv Math218（2008），600-633·Zbl 1139.15015号 [13] M.Rudelson和R.Vershynin，随机矩形矩阵的最小奇异值，Commun Pure Appl Math62（2009），1707-1739·Zbl 1183.15031号 [14] M.Rudelson和R.Vershynin，《随机矩阵的非渐近理论：极端奇异值》，《国际数学家大会论文集》，印度海得拉巴，2010年。 [15] A.Sidorenko，二部图的相关不等式，图组合91993201-204·Zbl 0777.05096号 [16] T.Tao和，V.Vu，加法组合学，《剑桥高等数学研究》，105，剑桥大学出版社，剑桥，2006年·Zbl 1127.11002号 [17] T.Tao和，V.Vu，《从Littlewood‐Offord问题到循环定律：随机矩阵谱分布的普遍性》，美国数学学会462009377-396·Zbl 1168.15018号 [18] T.Tao和，V.Vu，《逆Littlewood‐Offord定理和随机离散矩阵的条件数》，《数学年鉴》1692009595-632·Zbl 1250.60023号 [19] T.Tao和，V.Vu，《随机矩阵：最小奇异值的分布》，Geom Funct Anal202010，260-297·Zbl 1210.60014号 [20] T.Tao和，V.Vu，《随机矩阵：局部特征值统计到边缘的普遍性》，《公共数学物理》，298（2010），549-572·Zbl 1202.15038号 [21] T.Tao和，V.Vu，《随机矩阵：局部特征值统计的普遍性》，《数学学报》206（2011），127-204·兹伯利1217.15043 [22] T.Tao和V.Vu，《随机矩阵：特征值的局部化和四矩的必要性》，《越南数学学报》36（2011），431-449·Zbl 1247.15035号 [23] R.Vershynin，《随机矩阵非渐近分析导论》，Y.Eldar和（编辑）G.Kutyniok（编辑），《压缩传感：理论与应用》，剑桥大学出版社，出版。 此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。