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斯特拉德，赫尔穆特

正特征域上的简单李代数。三： 完成分类。 （英语） Zbl 1287.17012号

德格鲁伊特数学公开课57.柏林：de Gruyter（ISBN 978-3-11-026298-8/hbk；978-3-12-026301-5/电子书）。x、 239页。(2013).
正在审查的这本书是三卷书中的最后一卷（有关详细信息，请参阅审查的末尾），致力于统一证明有限维简单李代数在代数闭特征域上的分类（p>3）。第三卷的目标是对绝对toral秩大于2的简单李代数进行分类。除了一些基础材料外，第一卷还包含了绝对toral秩为1的简单李代数的分类，第二卷涉及绝对toral阶为2的简单李阿尔及利亚的分类，最后一卷将在给出简单李代数列表的意义上完成分类，并证明该列表是完整的。
更详细地说，第三卷包含以下结果。（请注意，与第一个体积相反，第三个体积中的地面场始终假设为具有特征的代数闭场（p>3）。）在第16章（第三卷第一章）中，作者讨论了稍后需要讨论的几个不同主题。前两部分包含与Cartan型李代数中tori相关的材料。特别地，讨论了哈密顿代数（H（2；下划线{1}；Phi（1））中半单元的轨道如何拟合到其最小（p）包络的二维环面。然后证明了哈密顿代数（H（2；下划线{1}；Phi（tau））^{（1）}具有非退化对称不变双线性形式，并利用这一点，确定了（H（1）{（2。此外，对李代数的一些小的不可约表示进行了分类，其中李代数的可解根模同构于（H（2；下划线{1}；Phi（tau））^{（1）}的最小（p）包络。在分类证明中满足的假设下，这些结果被应用于分离可解根并导出关于（p）-字符的一些信息。本章最后研究了Melikian代数的某些性质及其表示。证明了每一个Melikian代数都具有非退化对称不变双线性形式。因此，最小Melikian代数\（\mathcal｛M｝（1,1）\）的每一个中心扩展都分裂。最后，仅用初等方法证明了稍后分类证明中所需的维数不可约\（\mathcal｛M｝（1,1）\）-模\（125\）的\（p\）-特征的一个强结果。
在第17章中，作者利用第二卷中获得的绝对toral秩为2的简单李代数的已知列表，获得了关于子代数的三角化性和某些可分辨元素的（[p]-幂零性的更多信息。反过来，这就产生了简单李代数（L）中关于最小（p）包络中最大维的环面（T）的可能的（2）-段的列表。最后三章专门讨论了以下三种情况，其中前两种情况需要特殊的方法：1）存在这样一个非标准的环面（T）（即L中的中心化子不可三角化；这只可能发生在\（p=5），然后\（L）同构于Melikian代数），2）存在这样一个环面\（T），其中每个\（1）-段都是可解的（在这种情况下，需要考虑\（3）-段和绝对toral秩为3的简单李代数，以证明\（L \）是一个特殊李代数或块代数），最后，3）（L）的最小（p）-包络中的每个最大维环面都是标准的，并且至少有一个不可解的（1）-截面（在这种情况下，需要梯度李代数的Mills-Seligman定理和Kac的识别定理，这两个定理（虽然没有证明）都可以在第一卷中找到，以表明（L）属于经典类型或剩余的Cartan类型之一）。
作为前两卷，第三卷基本上是自足的，只假设读者熟悉作者和R。范斯坦纳【模李代数及其表示法。纯数学和应用数学专著和教科书，116。纽约等：Marcel Dekker，Inc.（1988；Zbl 0648.17003号)]，第一卷[正特征域上的简单李代数。一： 结构理论。德格鲁伊特数学博览会38。柏林：de Gruyter。(2004;兹比尔1074.17005)]，和第二卷[正特征域上的简单李代数。II:绝对toral秩的分类。数学中的de Gruyter Expositions 42。柏林：Walter de Gruyter。（2009年；Zbl。1190.17001)]. 总之，这本书以及前两卷将对模李理论的研究人员非常有用，特别是那些想从统一的角度理解特征代数闭域（p>3）上有限维简单李代数的分类的人。
审核人：Jörg Feldvoss（手机）

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MSC公司：

17B05型 李代数和超代数的结构理论
17对20 单、半单、约化（超）代数
17亿B50 模李（超）代数
17-02 关于非结合环和代数的研究综述（专著、调查文章）

关键词：

简单李代数；最小\（p\）-信封；圆环体；半单元；哈密顿代数；Melikian代数；非退化对称不变双线性形式；中央分机；不可约模；三角化性；\（[p]\）-幂零元素；\（1\）-截面；\（2）-截面；非标准环面；可解\（1）-段；绝对toral秩为三的简单李代数；\（3）-截面；Mills-Seligman定理；卡克识别定理

引文：

Zbl 0648.17003号；Zbl 1074.17005号
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\textit{H.Strade}，正特征域上的简单李代数。三： 完成分类。柏林：de Gruyter（2013；Zbl 1287.17012）
全文： 内政部