詹斯·弗莱明 Banach空间中的广义Tikhonov正则化和现代收敛速度理论。 （英语） Zbl 1285.47001号 Berichte aus der Mathematik公司亚琛：Shaker Verlag出版社（ISBN 978-3-8440-0867-8/pbk）。viii，第296页。(2012). 本专著的主题是关于一般情况下（T_{alpha}^z（x）=S（F（x），z）+alpha\Omega（x）to min\）的非线性不适定问题的Tikhonov正则化。这里，\（F:X\ to Y\）是被研究的算子，其中\（X\）和\（Y\）为Hausdorff空间，\（Omega:X\ to（-\infty，\infty]\）表示稳定泛函。此外，\（S:Y\乘以Z\到[0，\infty]\）表示一些拟合函数，用于测量数据\（Z\中的Z\）和基本方程\（F（x）=Y\）的精确右侧\（Y\中的Y\）之间的距离。这里，\（Z\）是另一个Hausdorff空间（数据空间）。本专著的第一部分致力于（a）（T_{α}^z）极小元的存在性，（b）（T_α>0）和数据（z）的小扰动下的极小元的稳定性，（c）（T_}α^z）的极小元到（Omega）-极小（S）-广义解（x中的x^dagger）的收敛性（F（x）=y），用于适当选择的（alpha），以及（d）先验参数选择和后验参数选择的收敛速度（alpha=alpha（delta））。在后一种情况下，\（delta>0）表示由一些一般泛函测得的噪声级，元素\（x中的x）定义为\（F（x）=y）的（S）-广义解当且仅当\（S（F（x），z）=0）和\（S，y，z）=0）对某些\（z中的z）成立。近似误差由一些一般泛函（E_{x^\dagger}:x\ to[0，\infty]\）测量，对于每个（M\中的x），（x^\ dagger\）的平滑条件为变分形式（βE_{x*\dagger}（x）\leq\Omega（x）-\Omega\（x^\gagger）+\varphi（S_Y（F（x），F（x^ dagger）），其中（β>0）是某个有限常数，并且（M\子集X\）是一个适当选择的集。此外，（\varphi:[0，\infty）\to[0，\ infty\）分别被视为随机过程\（xi:Theta\ to X\）和\（zeta:Theta\to Z\）的结果，其中\（（Theta，P）\）表示某个概率空间。研究表明，如果（x^\dagger）满足变分光滑假设，则与观测数据（z）对应的正则解（x_\alpha^z-in）argmin（T_\alpha ^z）以一定的概率接近（x^\ dagger。更准确地说，给出了条件概率（P_{zeta|xi=x^\dagger}（Z_\alpha^\varepsilon）=int_{Z_\alpha^\varepsilon}P_{zeta |xi=x^\danger}，d\mu_Z\）的下界，其中，所有（x_\alfa^ Z\ in）的argmin\（T_\alpha^Z\}\）。此外，\（p_{\zeta|\xi=x^\dagger}\）是包含标度参数\（alpha>0\）的条件密度函数，\（mu_Z\）是关于\（Z\）的度量。这里，分析的一个基本工具是，（x）上条件密度函数（p_{zeta|xi=x^dagger}）的最大化等价于上面考虑的Tikhonov型正则化，带有一些特定的拟合函数。第二部分专门讨论泊松分布数据的特殊情况。在半离散和连续情况下，对得到的Tikhonov泛函进行了全面考虑，并分别对得到的拟合泛函进行分析，推导出了适当的变分平滑假设。本部分以包含数值结果的综合章节结束。第三部分介绍了源条件、近似源条件、变分不等式和近似变分不等式等不同光滑性概念之间的相互联系。事实证明，每个概念都可以用第一部分中所考虑的形式的变分光滑性假设来表达。这本专著的结尾是一个附录，其中包含来自一般拓扑学、凸分析、条件概率密度和Lambert（W）函数的必要数学工具。这本专著是作者博士论文的扩展版本。它提供了一个非常可读的主题介绍，包括许多示例、应用程序和数字插图。审核人：罗伯特·柏拉图（西根） 引用于25文件 MSC公司： 47-02 与算子理论相关的研究综述（专著、调查文章） 47J06型 非线性不适定问题 47J25型 涉及非线性算子的迭代程序 65J20型 抽象空间中不适定问题的数值解；正规化 65J22型 抽象空间反问题的数值解法 关键词：不适定问题;反问题;Tikhonov正则化;拓扑空间;豪斯道夫空间;希尔伯特空间;巴纳赫空间;变分平滑假设;收敛速度;指数函数;差异函数;变分正则化;配件功能;先验参数选择;后验参数选择;差异原则;布列格曼距离;Kullback–Leibler发散;SAR成像;正电子发射断层扫描;聚酯;随机变量;泊松分布;源条件;对数源条件;近似源条件;变分不等式;近似变分不等式;Lambert\（W\）函数;专著 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{J.Flemming}，广义Tikhonov正则化和Banach空间中的现代收敛速度理论。亚琛：Shaker Verlag（2012；Zbl 1285.47001）