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安德鲁·休贝里

遗传Artin代数的簇复合体。 （英语） Zbl 1285.16013号

阿尔盖布。代表。理论 14，第6期，1163-1185（2011）。
引言：我们证明了遗传Artin代数的簇复数具有抽象单形多面体的结构。特别是，聚类对象在变异下形成一个等价类，这是证明与相应簇代数中的簇集的双射的必要第一步。
设（Lambda）是交换Artin环（R）上秩为（n）的（基本）遗传Artin代数。由于（Lambda）的中心是半单的（因此是域的乘积），我们可以假设（R）是半单。我们用（text{mod\，}\Lambda\）表示有限长右（Lambda）-模的范畴，并回忆起Krull-Remak-Schmidt定理在（text{mode\，}\Lambda \）中成立。给定\（T\in\text{mod\，}\Lambda\），我们用\（\text{add}（T）\）表示由\（T\）的不可分解和生成的加法子范畴。
在本文中，我们在定理19中证明，对于任意遗传Artin代数，簇复数（倾斜复数的完成）具有抽象单形多面体的结构。特别是，它总是（强）标记连接的，因此支持标签模块集在变异下形成一个等价类。再次，在支持分类模块和集群分类对象之间的自然双射下，这证明了集群分类的等价语句。
我们的证明与[A.B.布安等，高级数学。204，第2期，572-618（2006年；Zbl 1127.16011号)]，并且不依赖L.昂格的定理【Proc.Lond.Math.Soc.，III.Ser.73，No.1，27-46（1996；Zbl 0861.16008号)]. 事实上，我们的方法与[W.Crawley-Boevey公司、CMS确认程序。14, 117-124 (1993;兹伯利0828.16012);C.M.林格尔，内容。数学。171339-352（1994年；Zbl 0851.16010号)]，其中表明辫子群对异常序列集起传递作用。特别地，我们证明了一对\（（T，\sigma）\）（即包含\（（T，\sigma）\）的对的偏序集）的共面同构于垂直范畴的单多面体。更准确地说，让\（Lambda_\sigma=\Lambda/（e_\sigma）\）是由幂等元\（e_\sigma=\sum_{i\in\sigma}e_i\）给出的\（\Lambda）的因子代数。我们将垂直范畴（（T，sigma）^\perp\）定义为（text{mod\，}\Lambda_\sigma\）内的相对垂直范畴（T^\perp）。已知这个垂直范畴等价于某些基本遗传Artin代数（Gamma）的\（text{rank\，}\Gamma=text{rank，}\Lambda-\text{rank/，}T-|\sigma|\）。
这个结果可以看作是对两个重要结果的概括。首先，如果（T）是一个具有（n-1）不可分解和的基本刚性模，则（T）的簇复合体是一个1-单纯形或线段，其中（Gamma）是秩为1的遗传代数，因此是一个除环。因此，（Gamma\）有一个唯一的基本倾斜模和一个唯一顶点。这可以解释为，每个几乎最完整的刚性模块都有两个完整的支撑模块。类似地，如果（T）有（n-2）和，则此多面体与（T）的环同构，并由秩2遗传代数的簇复数给出。如果我们在代数闭场上工作，那么我们有一个类型为（a_1\cup a_1）或（a_2）的箭矢，或者是一个广义的克罗内克箭矢，分别给出一个正方形、五边形或双无限线。这些正是Unger[loc.cit.]发现的复合体（考虑到我们的复合体是相连的，因为我们还包括支持标签模块）。更一般地，对于任意遗传Artin代数，我们还分别获得了（B_2）和（G_2）类型的六边形和八边形。

引用于10文件

MSC公司：

16G20峰会 箭图和偏序集的表示
55单位10 代数拓扑中的单纯形集和复数
13英尺60英寸 簇代数
16国集团10 结合Artinian环的表示
18E30型 衍生类别、三角类别（MSC2010）

关键词：

遗传Artin代数;簇合物;簇细化对象;抽象单形多面体;簇代数;群集类别

引文：

Zbl 1127.16011号;Zbl 0861.16008号;Zbl 0828.16012;Zbl 0851.16010号
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\文本{A.Hubery}，Algebr。代表。理论14，第6期，1163--1185（2011；Zbl 1285.16013）
全文： 内政部 arXiv公司

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