克里斯蒂扬·卡福塔 关于与平方和半定程序相关的矩阵代数。 （英语） Zbl 1284.13033号 线性多线性代数 61，第11期，1496-1509（2013）. 让\（mathbb{R}[\underline{x}]_{\leqd}\）表示在\（\underline{x}\）和\（\mathbb}R}\langle\under划线{x}\rangle_{\Leqd}\）中收集的交换变量中的阶\（\leqd \）实多项式族，对应的多项式族中包含\（\enderline{x}中收集的非交换变量众所周知，多项式（f\in\mathbb{R}[\underline{x}]{\leqd}）是多项式的平方和（sos），当且仅当存在一个半正定矩阵（G_f），使得（f=V^tG_fV，）其中，（V\）是一个按字典顺序堆叠的次单项式（leqd/2）的列向量。对于非对易情况，有一个类似的定理：对于（下划线{X}）中非对易变量中的单项式（单词），将（w^*\）定义为单词\（w\）的反义词，并将这种对合线性扩展到\（mathbb{R}\langle\underline{X}\rangle）中的一个hermitian方格是形式为\（g^*g\）的多项式。用\（\Sigma^2）表示厄米平方和的集合。然后，当且仅当（f=W^*G_fW\）是某个半定矩阵（G_f\）和（W\）的一列将度为（leq d/2）的单项式层叠在一起。现在，这种半定矩阵（G_f）是否存在的问题（在交换和非交换的情况下）等价于某些半定程序的可行性问题：给定某些矩阵（A_i）（与（V）和（W）中的单项式有关）和与（f，）系数有关的有限多实数（b_i，）是否存在矩阵（G_f\suckeq 0）以及这样的矩阵？虽然最先进的SDP-求解器可以处理相当大的问题，但处理这些问题需要由表示为（mathcal）的\（A_i，\）生成的矩阵代数{A} 日期（_d）^｛\text｛com｝｝（n）\）和\（\mathcal{A} （_d）^{\text{nc}}（n）对于交换和非交换情况，变量中的度分别为“特殊”；例如，块可对角化。作者证明，不幸的是，对于所有的（d，n，geq 1）代数（mathcal{A} （_d）^{text{com}}（n）是实矩阵和（mathcal）的全矩阵代数{A} 日期（_d）^{text{nc}}（n）是实矩阵的全矩阵代数（定理2.3和2.6）。第三节研究了非交换平方和问题的一个变种。如果用相同大小的对称矩阵替换其变量，则多项式（f\in\mathbb{R}\langle\underline{X}\rangle\）为迹正矩阵。很明显，集合（Sigma^2+）“交换子之和”中的多项式（f）是迹正的。因此，提出了多项式（f，g在mathbb{R}\langle\underline{X}\rangle:\）（f\overset{text{cyc}}{sim}g）的循环等价性的概念，当（f-g）是交换子的和。例如，在论文中使用了这个概念I.克莱普和M.Schweighofer先生【高级数学217，第4期，1816–1837（2008年；Zbl 1184.46055号)]和S.Burgdorf公司【线性多线性代数59，No.1–3，1–9（2011；Zbl 1229.13020号)].同样，一个多项式是否与（Sigma^2）中的多项式循环等价的问题可以通过半定规划有效地确定。关于这一点，主要结果是相应的矩阵代数{A} （_d）^{\text{cyc}}（n）\）至少在一个实例中是块可对角化的：\（\mathcal{A} _2^{\text{cyc}}（2）\）与\（M_6（\mathbb{R}）\oplus\mathbb}R}同构在第4节中，这个结果用于给出Burgdorf-Klep定理的另一种证明：如果在对称矩阵对（2乘2）上，4次的非对易多项式（finmathbb{R}langleX，Yrangle）是迹正的，则（f\）循环等价于至多4个hermitian平方和。审核人：亚历山大·科瓦切克（科英布拉） 引用于2文件 MSC公司： 13J30型 实代数 15B99型 特殊矩阵 90立方厘米22 半定规划 关键词：半定程序;平方和;矩阵代数;微量阳性;循环等价;非对易多项式 引文：兹比尔1184.46055;兹伯利1229.13020 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{K.Cafuta}，线性多线性代数61，No.111496-1509（2013；Zbl 1284.13033） 全文： 内政部 参考文献： [1] Boyd S，El Ghaoui L，Feron E，Balakrishnan V.系统和控制理论中的线性矩阵不等式。第15卷，SIAM应用数学研究。费城（PA）：工业和应用数学学会（SIAM）；1994. ·Zbl 0816.93004号 [2] Parrilo PA。结构化半定程序和鲁棒性和优化中的半代数几何方法[博士论文]。帕萨迪纳（CA）：加利福尼亚理工学院；2000 [3] Goemans MX，数学。项目79第143页–（1997） [4] 数字对象标识码：10.1142/p665·doi:10.1142/p665 [5] Marshall M.正多项式和平方和。第146卷，数学调查和专著。普罗维登斯（RI）：美国数学学会；2008. ·Zbl 1169.13001号 [6] 内政部：10.1007/978-0-387-09686-5_7·doi:10.1007/978-0-387-09686-57 [7] DOI:10.1007/978-1-4614-0769-0_9·Zbl 1334.90097号 ·doi:10.1007/978-1-4614-0769-09 [8] DOI:10.1016/j.jpaa.2003.12.011·Zbl 1108.13021号 ·doi:10.1016/j.jpaa.2003.12.011 [9] DOI:10.1016/j.crma.2010.06.005·Zbl 1205.15047号 ·doi:10.1016/j.crma.2010.06.005 [10] DOI:10.1007/s10107-011-0461-3·Zbl 1225.90098号 ·doi:10.1007/s10107-011-0461-3 [11] 激光器接线盒。多项式全局优化和矩问题。SIAM J.优化。2000/01;11:796–817. ·Zbl 1010.90061号 ·doi:10.1137/S1052623400366802 [12] Parrilo PA，Sturmfels B.最小化多项式函数。算法和定量实代数几何（Piscataway，NJ 2001）。DIMACS系列。离散数学。理论。计算。科学。，阿默尔。数学。Soc.2003年；60:83–99. [13] 内政部：10.1007/s10107-003-0387-5·Zbl 1043.14018号 ·文件编号：10.1007/s10107-003-0387-5 [14] 内政部：10.1007/BF02592948·Zbl 0637.90078号 ·doi:10.1007/BF02592948 [15] 内政部：10.2307/3597203·Zbl 1033.12001年 ·doi:10.2307/3597203 [16] 内政部：10.2140/pjm.2005.218.167·Zbl 1177.47020号 ·doi:10.2140/pjm.2005.218.167 [17] DOI:10.1016/j.aim.2012.04.028·Zbl 1260.14071号 ·doi:10.1016/j.aim.2012.04.028 [18] 内政部：10.1007/978-0-387-09686-5_2·doi:10.1007/978-0-387-09686-5_2 [19] 内政部：10.1137/090760155·Zbl 1228.90073号 ·doi:10.1137/090760155 [20] DOI:10.1016/j.jpaa.2009.07.003·Zbl 1246.11092号 ·doi:10.1016/j.jpaa.2009.07.003 [21] DOI:10.1016/j.aim.2007.09.016·Zbl 1184.46055号 ·doi:10.1016/j.aim.2007.09.016 [22] 内政部：10.1007/s10955-008-9632-x·兹比尔1158.15018 ·doi:10.1007/s10955-008-9632-x [23] A.康涅斯。内射因子的分类。案例。数学年鉴。1976;104:73–115. ·Zbl 0343.46042号 ·doi:10.2307/1971057 [24] 内政部：10.1063/1.522463·兹比尔0976.82501 ·doi:10.1063/1.522463 [25] 内政部：10.2140/pjm.2011.250.339·Zbl 1232.16026号 ·doi:10.2140/pjm.2011.250.339 [26] DOI:10.1007/BF01443605·doi:10.1007/BF01443605 此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。