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科马斯·卡维;霍万斯基，A.G。

Newton-Okounkov体、积分半群、分次代数和交集理论。 （英文） Zbl 1270.14022号

安。数学。(2) 176，第2期，925-978（2012）.
本文的主要目的是将多项式的牛顿多面体的概念推广到几个更抽象的上下文中。作者首先证明了积分半群的一般结果。设（S）是格（mathbb{Z}^n\subset）中的加性半群。考虑由所有线性组合组成的群（G（S），其中，（S中的a_i）和（mathbb{Z}中的k_i），以及闭凸锥（文本{Con}（S）），它是所有线性组合集合的闭包。让我们将\（S\）的正则化定义为半群\（\text{Reg}（S）=G（S）\cap\text{Con}\）。定理1.6指出，对于仅在原点与（（）边界相交的（）内的每个闭强凸锥（），存在一个常数（N>0），使得位于（）且距原点距离大于（N）的群（G（S）中的每个点都属于（S）.
假设锥（text{Con}（S））是strongly凸的，并用（L）表示其在（mathbb{R}^n）中的线性跨度。设（L=q+1）。仅在原点处固定有理（q）维子空间（M_0子集L）相交（text{Con}（S））。设\（M_k\），\（k\in\mathbb{Z}（Z）_{geq0}）是平行于（M_0）的（q）维仿射子空间的族，使得每个（M_k）与锥（text{Con}（S））以及群（G（S）相交。半群（S）的希尔伯特函数（H_S（k））定义为（S\cap M_k）中的点数。让我们将（S）的Newton-Okounkov体定义为交集（Delta（S）=\text{Con}（S）\cap M_1）。作者证明了函数（H_S（k））的增长类似于（a_qk^q），其中系数（a_q）等于（Delta（S））的（以适当的方式归一化）维体积。还刻画了与（S\cap M_k）生成的半群相对应的Hilbert函数的增长性。
第二部分研究了分次代数及其希尔伯特函数。设（F）是代数闭域（mathbb{K}）的有限生成扩张，（F[t]\）是（F）上多项式的代数。考虑（F）在（mathbb{K}）上的非零有限维子空间（L），并设（a_L:=bigoplus_{K\geq0}L^kt^K）。它是由度为（1）的有限多个元素生成的（F[t]\）的齐次子代数。如果（F[t]\）中的齐次子代数（A\）是某个子代数（A_L\）上的有限模，则称其为积分型。此外，如果齐次子代数\（a\）包含在积分型代数中，那么它几乎是积分型的。
域（F）的每个（mathbb{Z}^n）值赋值都将齐次子代数（a\substeqF[t]\）的非零元集映射到（mathbb{Z}^n times\mathbb）中积分点的半群{Z}（Z）_{\geq 0}\）。这允许定义分次代数的Newton-Okounkov体，并用分次代数解释上述半群上的结果。特别地，证明了几乎积分型代数的希尔伯特函数具有多项式增长性。
论文的第三部分涉及代数几何。设（X）是（mathbb{K}）上的（n）维不可约簇，其中（F=mathbb}K}（X））是有理函数的域。利用有限维子空间（L\子集F\）将Kodaira有理映射（\Phi_L:X\ to \mathbb{P}（L^*）\）关联起来。设（Y_L）为该地图图像的闭包。代数（A_L）可以用同质坐标环（Y_L\substeq\mathbb{P}（L^*））来标识。积分型代数在这些术语中与充足线束的截面环有关，而几乎积分型代数与任意线束的剖面环有关（见定理3.7和3.8）。
除数理论中的Fujita近似定理表明，所谓的大除数的体积可以用充足除数的自交数来近似。上述关于分次代数的结果可以看作是这个结果的抽象类比。事实上，它导致了Fujita对任何除数，甚至任何完全簇上的任何分级线性系统的结果的推广（推论3.11）。
在最后一部分中，得到了Kushnirenko定理的一个意义深远的推广，并找到了Hodge不等式的一个新版本。作者还给出了Alexandrov-Fenchel不等式及其在代数几何中的相似性的初等证明。
审核人：伊万·阿尔赞采夫（莫斯科）

引用于9评论
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MSC公司：

17年11月14日 齐次空间与推广
14米25 双曲面变体、牛顿多面体、Okounkov体

关键词：

积分半群;凸体;分次代数;希尔伯特函数;霍奇指数理论;混合体积;Alexandrov-Fenchel不等式;Bernstein-Kushnirenko定理;卡地亚除数;线性级数
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\textit{K.Kaveh}和\textit{A.G.Khovanskii}，Ann.数学。（2） 176，第2号，925--978（2012；Zbl 1270.14022）
全文： 内政部 arXiv公司

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