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瓦莱里·巴达科夫。;米哈伊尔·五世（Mikhail V.Neshchadim）。;尤里·索斯诺夫斯基。

自由结合代数和多项式代数的三角自同构群。 （英语） Zbl 1269.16033号

J.代数 362, 201-220 (2012).
设（C_n）是特征为0的域（K）上的多项式代数（K[x_1，dots，x_n]\）或自由结合代数（Klanglex1，dotes，x_nrangle\）。本文研究了（C_n）的三角自同构群（T_n）的结构。显然，\（T_n\）同构于半直积\（U_n\leftthreeftimes D_n\），其中\（U_n\）是单三角自同构的群（由\（x_i\到x_i+f_i（x_{i+1}，\dots，x_n）\），\（i=1，\dots，n\）定义），\（D_n\）是对角群（\（x_i\到\alpha_ix_i\），\（在K^*\中的\alpha_i\））。因此，为了理解（T_n），描述（U_n）就足够了。
作者证明了\（U_n=（cdots（G_1\leftthreetimes G_2）\cdots）\ leftthrietimes G_n\），其中\（G_i）是形式\（x_i \ to x_i+f_i（x_{i+1}，\dots，x_n）\），\（x_ j \ to x_ j），\。然后，他们描述了（U_n）的下中心级数（并证明了）和导出的级数：（U_n=（cdots（G_1\ leftthree times G_2）\ cdots）\ leftthire times G_n），（U_n'=（\cdots），\（U_n^{（n）}=1\）。（（U_n）的可解性由V.A.Roman'kov和I.V.Chirkov和M.A.谢维林【Sib.Mat.Zh.45，No.5，1184-1188（2004）；翻译自《Sib.Mat.J.45，No.5，974-977》（2004）；Zbl 1059.17004号)].) 然后证明了交换子子群（U_n’）的每个元素都是一个交换子。
群（U_n），（n \geq 2）不包含有限指数的适当子群（因此不是剩余有限的）。作者将此与A.I.马尔采夫【Mat.Sb.，N.Ser.28（70），567-588（1951年；Zbl 0043.02301号)]一个可解线性群有一个有限指标子群，其交换子群是幂零的。通过这种方式，他们得出，对于（n geq 3），（U_n）不是线性的。作者进一步给出了U_3的可数非线性子群的一个例子。
U.U.Umirbaev公司[J.Reine Angew.数学.600，203-235（2006；Zbl 1132.14051号); 《代数杂志》314，第1期，209-225（2007；Zbl 1132.17002号)]建立了Nielsen-Schreier变种中自由代数的自同构群和（K[x_1，x_2，x_3]\）的驯服自同构组（以及（K[x1，dots，x_n]\）驯服自构的生成元系统）的生成元和定义关系。本文给出了（K[x_1，dots，x_n]\）的驯自同构群的一个生成系统，它比Umirbaev的生成系统简单。
进一步研究了由两个基本自同构生成的（U_n）子群，并证明它们不是秩2的子群，就是元贝里的子群或阿贝尔的子群。
最后，本文讨论了（U_n）中的有限阶元。特别地，它包含了一个新的事实证明，如果在\（n\）变量中的多项式代数的自同构群中的每个对合（即乘阶2的自同构）都共轭于线性自同构，那么这意味着消去猜想：如果\（R\）是有限生成的交换\（K\）-代数和（R[z]\cong K[x_1，\dots，x{n-1}，y]\），然后是（R\cong K[x_1，\dotes，x{n-1}]\）。
论文中分散了一系列有趣的开放问题。
审核人：Vesselin Drensky（索非亚）

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引用于8文件

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关键词：

自由结合代数;多项式代数;驯服自同构;单三角自同构群;线性组;发电机系统

引文：

Zbl 1059.17004号;Zbl 0043.02301号;Zbl 1132.14051号;Zbl 1132.17002号
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{V.G.Bardakov}等人，J.代数362，201-220（2012；Zbl 1269.16033）
全文： 内政部 arXiv公司

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