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乔瓦尼·卡蒂诺;洛伦佐·马齐埃里

（sigma_k）-Yamabe度量的连接和构造。 （英语） Zbl 1266.53046号

《几何杂志》。分析。 23，第2期，812-854（2013）.
给定一个维数为（n，geq 3）的紧致黎曼流形（（M，g）），我们分别用（Ric_g）、（R_g）表示Ricci张量和（M，g）的标量曲率。（（M，g）的Schouten张量定义如下\[A_g:=\frac{1}{n-2}（\operatorname{Ric}（_g）-\裂缝{1}{2（n-1）}R_g）。\]如果\（lambda_1，\dots，\lambda_n\）表示对称自同态的特征值^{-1}标记（_g）\)则将（M，g）的（sigma_k）-曲率定义为（lambda_1，dots，lambda_n）的第（k）-对称初等函数，即\[\σ_k（g^{-1}标记（_g）)=\sum_{i_1<\dots<i_k}\lambda_{i1\dots\lambda _{i_k{，\]对于\（1 \leq k \leq n \）和\（\sigma0（g^{-1}标记（_g）)=1\).
关于\（（M，g）\）的\（\ sigma_k\）-Yamabe问题在于在\（g\）的共形类中寻找具有常数\（\ sigma_k\）-曲率的度量。这种情况被称为“大和问题”，其逐步解决的原因是H.山形【大阪数学杂志12，21–37（1960；Zbl 0096.37201号)],N.S.Trudinger公司[《科学年鉴、规范、超级比萨》、《科学、财政、材料》，第三版，第22、265–274页（1968年；Zbl 0159.23801号)],T.奥宾[《数学与公共应用杂志》，第九卷，第55/269–296页（1976年；Zbl 0336.53033号)]、和R.Schoen公司[J.Differ.Geom.20，479–495（1984；兹比尔0576.53028)]。
本文通过对（正）（sigma_k）-Yamabe问题的两个给定紧非退化维解（（M_1，g_1））和（（M_2，g_2））的连通和进行运算，得到了曲率为（2^{-k}）的正常数（σ_k）的黎曼度量族，提供了\（2\leq 2k<n\）。该问题等价于求解一个二阶完全非线性椭圆方程。
如果（M）上的度量值（g）属于第（k）个正锥（Gamma^+_k），则称其为（k）-可容许，其中（g）in Gamma^+_k）（Leftrightarrow）（sigma_j（g^{-1}标记（_g）)>对于（j=1，dots，k），本文的主要结果是以下定理。
定理1。设（（M_1，g_1）和（（M_2，g_2）是正（sigma_k）-Yamabe问题的两个紧（n）维（k）可容许非退化解，其中（2leq-2k<n）。然后存在一个仅依赖于\（n，k）的正实数\（varepsilon_0>0），以及\（g_1\）和\（g_2 \）系数的\（C^2）范数，使得对于每一个\（varesilon\ in（0，varepsilen_0]\），连通和（M_varepsiron=M_1\sharp_varepsilon M_2）可以被赋予\（k）-容许非退化度量\（widetilde{克}_\varepsilon）的常数曲率等于（2^{-k}）（n选择k）。此外，\（\ | \ widetilde{克}_\varepsilon-g_i\|^{C^r（K_i）\rightarrow 0}\）表示\（r>0\）和任何紧集\（K_i\subset M\backslash\{p_i\}\），\（p_i\）的，\（i=1,2\）是执行连接和的点。
审核人：Ioan Pop（伊阿什）

引用于2文件

MSC公司：

53元24角 刚度结果
53C20美元 全球黎曼几何，包括收缩
53C21号 整体黎曼几何方法，包括PDE方法；曲率限制
53元25角 特殊黎曼流形（爱因斯坦、佐佐木等）

关键词：

\（σk）-曲率;完全非线性椭圆方程;共形几何;关联和

引文：

Zbl 0096.37201号;Zbl 0159.23801号;兹伯利0336.53033;Zbl 0576.53028号
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{G.Catino}和\textit{L.Mazzieri}，J.Geom。分析。23，编号2，812--854（2013；Zbl 1266.53046）
全文： 内政部 arXiv公司

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