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伊利亚斯，赛义德;芭芭拉·内利;马克·索雷特

黎曼流形中常平均曲率超曲面上的Caccioppoli不等式。 （英语） Zbl 1260.53113号

全球分析年鉴。地理。 42，第4期，443-471（2012）.
作者的目标是给出一个统一和澄清关于稳定常平均曲率超曲面不存在的许多结果的证明的一般设置；他们在这方面也取得了一些新的成果。关键结果是具有常平均曲率的有限指标超曲面的以下Caccioppoli不等式，它是R.舍恩等【数学学报134、275–288（1975；Zbl 0323.53039号)].
定理。假设（mathcal{N}）是截面曲率有界的可定向黎曼流形，使得曲率张量导数的范数有界。设\（M\）是一个具有常平均曲率\（H\）和有限指数的完备非紧超曲面，浸入\（\mathcal｛N｝\）中。用\（\varphi\）表示\（M\）第二基本形式无迹部分的范数。然后，存在（M）的紧子集（K），这样，对于任何（q>0）和任何（f在C^ infty_0（M减去K）中），都有\[\开始{split}\int_{M\set-muse-K}f^2\varphi^{2q+2}（\mathcal{A}\varphi^2+\mathcal{B} H（H）\瓦尔斐+\mathcal{C} H（H）^2+\mathcal{E}）\leq\\leq\mathcal{D}\int_{M\setminus K}\varphi^{2q+2}|\nabla f|^2+\mathcal{f}\int_{M\set minus K{f^2\varphi^{2q+1}+\mathcal{G}\int_2M\set减数K}f^2\\varphi{2q}，\end{split}\]其中，\（\mathcal{A}、\dotsc、\mathcal{G}\）是常量。此外，如果\（M\）是稳定的，那么\（K=\emptyset\）。
在§5中，作者给出了上述定理的三个结果，即定理5.1–5.4，然后在§6中，他们在稳定情况下应用III型Caccioppoli不等式（定理5.3和5.4），以获得文献中广泛出现的关于这个主题的结果，并将这些结果与旧结果进行比较。具体如下。
定理5.5。设（M）是浸入非负常曲率流形（mathcal{N}）中的完全非紧极小超曲面。假设\（M\）具有有限索引。设\（\mu\ in[2，\alpha_2+1）\）和\（\eta>0\[\int_{M\set-muse-K}f^{2\mu\eta}|A|^{2\\mu}\leq\delta_1\int_{M \set-mose-K}|A| ^{2_mu（1-\eta）}|\nabla-f|^{2\mu\eta}，\]其中，\（A\）是\（M\）上的形状运算符。此外，如果\（\mu\ in（\alpha_1+1，\alpha_2+1）\），则类似的不等式用\（（M\setminus K）_+\）而不是\（M\set minus K\）成立。
定理5.6。设（M）是常曲率流形（mathcal{N}）中具有常平均曲率（H）的完备非紧超曲面。假设\（M\）具有有限的索引和\（n\leq 5\）。然后，存在（M）的一个紧子集（K）和一个正常数（delta_2），使得对于任何（sgeq 1）和任何（f）在C_0^ infty（M\set-K）中，都有\[\int_{M\set-muse-K}f^{2s}\varphi^{2x}\leq\delta_2\int_{M \set-mose-K}\varfi^{2x}|\nabla f|^{2s}，\]提供（1）\（c\geq 0，\；x\ in[1，x_2）\）或（2）\（c=-1，\；varepsilon>0，\，x\ in[1]，x_2-\varepsilen]，\；H^2\geq g（x）\）。
此外，如果（1）中的（n\leq 6）和（x\in（x_1，x_2））（分别是（2）中的[x_1+varepsilon，x_2-varepsilen]），则类似的不等式成立于（（M\set-bus-K）_+），而不是（M\set-bus-K\）。
推论6.1。设（M）是浸入非负常曲率流形中的完全非紧稳定极小超曲面。假设，对于\（\mu\in[2，\alpha_2+1），\；\eta>0，\；\ eta\mu\geq1\），\[\lim_{R\to\infty}\frac{\int_{B_{2R}\set-muse-B_R}|A|^{2\mu（1-\eta）}}{R^{2\\eta\mu}}=0，\]则（M）是完全测地线。
推论6.2。设（M）是浸入非负常曲率流形中的完全非紧稳定极小超曲面和（nleq 7）。如果（0,2\alpha_2-1）中存在\[\lim_｛R\to\infty｝\frac｛\int_｛B_｛2R｝\setminus B_ R｝|A|^3｝｛R^t｝=0，\]则（M）是完全测地线。
推论6.3。在（mathcal{N}=mathbb{R}^{N+1}，；mathbb}S}^{N+1}、；mathbb{H}^{N+1}，，；）中不存在具有常平均曲率的完全非紧极小超曲面（M），只要存在这样的（S\geq1）\[\lim_｛R\to\infty｝\frac｛\int_｛B_｛2R｝\setminus B_R｝\varphi^｛2x｝｝｛R^｛2s｝｝=0\]和（1）（mathcal{N}=mathbb{R}^N+1}）或（mathbb}S}^N+1}，；H\neq 0，；x\in[1，x_2），或（2）（mathcal{N{=mathbb{H}^N+1}，\varepsilon>0，\；x\in[1，x2-\varepsilon]，\；H^2>g_N（x））。
审核人：陈伟欢（北京）

引用于8文件

MSC公司：

第53页第42页 浸入的微分几何（最小、规定曲率、紧密等）
53A10号 微分几何中的极小曲面，具有规定平均曲率的曲面
58E15型 关于多变量极值问题的变分问题；Yang-Mills工作人员

关键词：

Caccioppoli不等式;西蒙斯不等式;常平均曲率超曲面;稳定的;有限指数

引文：

Zbl 0323.53039号
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\textit{S.Ilias}等人，《全球分析年鉴》。地理。42，第4号，443--471（2012；Zbl 1260.53113）
全文： 内政部 arXiv公司

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