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费尔南多·马奎斯。;安德烈·内维斯

三流形中min-max最小球体的刚度。 （英语） Zbl 1260.53079号

杜克大学数学。J。 161，第14号，2725-2752（2012）.
主要结果是使用mini-max方法证明了标量曲率（R\geq 6）的3-球面上度量的一些刚性结果，即存在一个至多为1且面积为（\leq 4\pi）的最小指数曲面。
给定3-球面上的一个度量（g），引入了由mini-max不变量给出的宽度（（S^3，g）的概念\[W（S^3，g）=\inf_{{\Sigma_t\}\in\bar{\Lambda}}\sup_{t\in[-1,1]}|\Sigma _t|，\]其中\（\Sigma_t=F_t（\bar{\Sigma}_t）\），对于\（S^3）的某些单参数微分同态（F_t）族，同位素与恒等式，并且\（\bar}\Sigma-}_t=x_4^{-1}（t）\）是标准浸入\（\mathbb{R}^4）的最后一个分量函数的水平集。这个概念被推广到三维黎曼流形（M）上广义曲面族（扫掠）的饱和集合（Lambda），可能有边界，满足某些自然条件，允许应用C.德莱利斯和F.佩兰迪尼[J.Reine Angew.数学.644，47–99（2010；Zbl 1201.53009号)]，定义与\（\Lambda\）关联的宽度\（W（M，\Lambda）\）。
如果\（M\）有一个正平均曲率的连通边界\（\partial M\），并假设存在一个宽度为\（>|\partial M|\）的饱和集\（\Lambda\），通过以下类似的拉紧程序T.H.冷却和C.德莱利斯[in:S.T.Yau（编辑），微分几何调查。2002年，美国马萨诸塞州剑桥市哈佛大学为纪念Calabi、Lawson、Siu和Uhlenbeck而举办的几何和拓扑讲座。马萨诸塞州萨默维尔：国际出版社。Surv公司。不同。地理。8, 75–107 (2003;Zbl 1051.53052号)]证明了Lambda中存在一个极小的切片序列（Sigma^n_{t_n}}），使得二维Hausdorff测度的平方满足（mathcal{H}^2（Sigma＿t_n}^n）到W（M，Lambda）），并且它收敛到一个平稳变量，且正则性成立。在距离函数定义的径向上定义一个合适的向量场。这将生成一个单参数微分同态族，该族将初始族变形以获得一个新族，对于（t>t_0），该族位于\（M）的内部，将问题简化为这些情况，从而获得一个收敛于\（M，\Lambda）的内部和区域\（W（M，\ Lambda。
假设（M）闭，作者证明了一个饱和集合（Lambda）的定向曲面的扫掠，其可分辨元素位于（t=0），面积为（W（M，Lambda，g），面积严格较大（|\Sigma_0|>|\Sigram_t|=：f（t）），且满足（f''（0）<0），则（\Sigma _0）是指数1的嵌入极小曲面。证明包括假设指数大于1，使用Jacobi算子和合适的Jacobi域会导致矛盾。作者说，\（（M，g）\）满足\（（*）_h\）-条件，其中\（h\）是非负整数，如果\（M\）不包含嵌入的非定向曲面，并且亏格小于或等于\（h\）的最小嵌入曲面不稳定。以（M）的Heegaard亏格（h），即曲面（Sigma）的最低可能亏格，该曲面将（M）分为两个连通的分量，这两个分量都不同于带有手柄的实心球，证明了存在指数1和亏格（h\）的可定向嵌入最小曲面（\Sigma_0）面积等于\（W（M，\Lambda^h）\），其中\（\Lambda ^h）是由与Heegaard属相关联的某些科定义的所有饱和集的并集，包含在满足上述性质的带\（f（t）\）的扫掠中。这导致了这样一个结论：如果（M）是封闭的，并且每个嵌入曲面都是有向的，那么存在一个索引（leq 1）和亏格（leq tilde{h}）的嵌入最小曲面，其中（tilde{h}）是（M）的Heegaard亏格。如果（M）承认一个不可定向嵌入曲面，他们将（tilde{h}）作为所有不可定向嵌曲面中可能的最低亏格，并使用类似的参数获得相同的结果，如[H.布雷等，Commun。纯应用程序。数学。63，第9期，1237–1247（2010年；Zbl 1200.53053号)]. 作为推论，他们得出结论，如果（M=S^3），则存在至多一个最小指数范围。
为了获得关于标量曲率度量（g）为（Rgeq 6）的（S^3）的进一步结果，作者考虑了由Ricci流定义的度量族（g（t））。然后，他们证明了饱和族（Lambda）w.r.t.（g（t））的（M）的宽度定义了（t）上的Lipschitz连续函数，并给出了一些估计。他们证明，如果（M）w.r.t（g）的标量曲率大于或等于（6）且Ricci为正，则存在指数小于或等于面积为（|\Sigma|\leq4\pi）的嵌入最小曲面。利用Ricci流的最大值原理和短时存在性，他们证明了当且仅当（M=S^3）和（g）具有恒定的截面曲率时，在指数为（leq 1）的所有极小曲面上运行的（Sigma）的下确界等于（4\pi）。如果（g）是正Ricci曲率和（R\geq 6）的（S^3）上的任何度量，则存在指数1和面积（W（S^3,g）小于或等于（4\pi）的嵌入最小球面（Sigma），且等式成立的前提是（g）具有恒定的标量曲率。去掉Ricci张量的正性假设，并利用极小球面的稳定性论证，证明了如果（g）不是等截面曲率1，则这种嵌入存在于面积严格小于（4 pi）且指数为零或一的情况下。
对于正Ricci曲率和标量曲率（Rgeq 6）的更一般的环境空间（M=S^3/Gamma），也得到了类似的结果。
审核人：Isabel Salavesa（里斯本）

引用于三评论
引用于38文件

MSC公司：

53立方厘米24 刚度结果
53立方厘米 浸入的微分几何（最小、规定曲率、紧密等）
35J15型 二阶椭圆方程
35年20日 二阶椭圆方程的变分方法

关键词：

刚性;三维球面;最小最大值法;最小曲面;指数;宽度;瑞奇流

引文：

Zbl 1201.53009号;Zbl 1051.53052号;Zbl 1200.53053号
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{F.C.Marques}和\textit{A.Neves}，数学公爵。J.161，第14号，2725--2752（2012；Zbl 1260.53079）
全文： 内政部 arXiv公司 欧几里得

参考文献：

[1] M.Anderson，流形中最小曲面的曲率估计，《科学年鉴》。埃及。标准。补充（4）18（1985），89-105·Zbl 0578.49027号
[2] L.Andersson和M.Dahl，渐近局部双曲流形的标量曲率刚性，Ann.Global Anal。地理。16 (1998), 1-27. ·Zbl 0946.53021号 ·doi:10.1023/A:1006547905892
[3] H.Bray，S.Brendle，M.Eichmair和A.Neves，三流形中的面积最小化投影平面，Comm.Pure Appl。数学。63 (2010), 1237-1247. ·Zbl 1200.53053号 ·doi:10.1002/cpa.20319
[4] H.Bray、S.Brendle和A.Neves，三个流形中面积最小两个球体的刚度，Comm.Ana。地理。18 (2010), 821-830. ·Zbl 1226.53054号 ·doi:10.4310/CAG.2010.v18.n4.a6
[5] G.Bredon和J.Wood，可定向流形中的非定向曲面，发明。数学。7 (1969), 83-110. ·Zbl 0175.20504号 ·doi:10.1007/BF01389793
[6] S.Brendle，涉及标量曲率的刚性现象，将出现在《微分几何测量》中·Zbl 1300.53055号
[7] S.Brendle、F.C.Marques和A.Neves，增加标量曲率的半球变形，发明。数学。175 (2011), 175-197. ·Zbl 1227.53048号 ·doi:10.1007/s00222-010-0305-4
[8] 蔡美忠，加洛韦，非负标量曲率流形中面积最小环面的刚性，商榷。地理。8 (2000), 565-573. ·Zbl 0994.53028号
[9] D.Christodoulou和S.-T.Yau，关于准长质量的一些评论，康特姆。数学。71 (1988), 9-14. ·Zbl 0685.53050号 ·doi:10.1090/conm/071/954405
[10] P.T.Chru-Shiciel和M.Herzlich，渐近双曲黎曼流形的质量，太平洋数学杂志。212 (2003), 231-264. ·兹比尔1056.53025 ·doi:10.2140/pjm.2003.212.231
[11] T.Colding和C.De Lellis，《微分几何测量VIII》（波士顿，2003）中的“最小曲面的最小最大构造”，国际出版社，马萨诸塞州萨默维尔，2003，75-107·兹比尔1051.53052
[12] T.Colding和W.Minicozzi，某些流形上Ricci流的灭绝时间估计和Perelman，J.Amer的一个问题。数学。《社会分类》第18卷（2005年），第561-569页·Zbl 1083.53058号 ·doi:10.1090/S0894-0347-05-00486-8
[13] C.De Lellis和F.Pellandini，min-max构造产生的最小曲面的属界，J.Reine Angew。数学。644 (2010), 47-99. ·Zbl 1201.53009号 ·doi:10.1515/CRELLE210.052
[14] M.Eichmair，流形中等周曲面的大小和上半球的刚度结果，Proc。阿默尔。数学。Soc.137（2009），2733-2740·Zbl 1187.53038号 ·doi:10.1090/S0002-9939-09-09789-5
[15] T.Frankel，《关于紧致极小子流形的基本群》，《数学年鉴》。83 (1966), 68-73. ·Zbl 0189.22401号 ·数字对象标识代码：10.2307/1970471
[16] C.Gordon，《Dehn filling:一项调查》，摘自《结理论》（华沙，1995），巴纳赫中心出版社。42，波兰学院。科学。数学研究所。，1998, 129-144. ·Zbl 0916.57016号
[17] R.Hamilton，具有正Ricci曲率的三个流形，J.微分几何。17 (1982), 255-306. ·Zbl 0504.53034号
[18] R.Hamilton，《微分几何调查II》（剑桥，马萨诸塞州，1993）中的“Ricci流中奇点的形成”，国际出版社，剑桥，马萨州，1995，7-136·Zbl 0867.53030号
[19] F.Hang和X.Wang，具有边界和正Ricci曲率的紧致流形的刚性定理，J.Geom。分析。19 (2009), 628-642. ·Zbl 1175.53056号 ·doi:10.1007/s12220-009-9074-y
[20] J.Hass和P.Scott，流形中最小面积曲面的存在性，Trans。阿默尔。数学。Soc.310、1988、87-114·Zbl 0711.53008号 ·doi:10.2307/2001111
[21] G.Huisken和A.Polden，《变分法和几何演化问题》中的“超曲面的几何演化方程”（Cetraro，意大利，1996），数学课堂讲稿。1713年，柏林施普林格，1999年，45-84·兹比尔0942.35047 ·doi:10.1007/BFb0092669
[22] J.Jost，流形中不同于三维球或球体的嵌入最小曲面，J.Differential Geom。30（1989），555-577·Zbl 0682.53056号
[23] B.劳森，最小嵌入的未知性，发明。数学。11 (1970), 183-187. ·Zbl 0205.52002号 ·doi:10.1007/BF01404649
[24] M.Llarull，Sharp估计和Dirac算子，数学。《Ann.310》（1998），第55-71页·兹伯利0895.53037 ·数字标识代码：10.1007/s002080050136
[25] B.Meeks、L.Simon和S.-T.Yau，嵌入极小曲面、奇异球面和具有正Ricci曲率的流形，数学年鉴。116 (1982), 621-659. ·Zbl 0521.53007号 ·doi:10.2307/2007026
[26] M.Min-Oo，渐近双曲自旋流形的标量曲率刚性，数学。Ann.285（1989），527-539·Zbl 0686.53038号 ·doi:10.1007/BF01452046
[27] M.Min-Oo，《几何、拓扑和动力学》（蒙特利尔，1995）中的“某些对称空间的标量曲率刚性”，CRM Proc。课堂笔记15，Amer。数学。普罗维登斯社会委员会，1998年，127-137·Zbl 0911.53032号
[28] I.Nunes，三流形中面积最小双曲曲面的刚度，J.Geom。分析。，2011年12月20日电子出版，doi:·Zbl 1285.53048号 ·doi:10.1007/s12220-011-9287-8
[29] J.Pérez和A.Ros，《平面空间中极小曲面的整体理论》（Martina Franca，意大利，1999）中的“具有有限总曲率的适当嵌入极小曲面”，数学讲义。1775年，柏林施普林格，2002年，15-66·Zbl 1028.53005号
[30] J.Pitts，黎曼流形上极小曲面的存在性和正则性，数学。注释27，普林斯顿大学出版社，普林斯顿，1981年·Zbl 0462.58003号
[31] J.Pitts和J.Rubinstein，几何三流形中的等变minmax和极小曲面，布尔。阿默尔。数学。《社会分类》第19卷（1988年），第303-309页·Zbl 0665.49034号 ·doi:10.1090/S0273-079-1988-15652-2
[32] M.Ritoré和A.Ros，稳定常数平均曲率圆环和三种空间形式的等周问题，评论。数学。Helv公司。67 (1992), 293-305. ·兹比尔0760.53037 ·doi:10.1007/BF02566501
[33] M.Ross，不可定向极小子流形的第二变体，Trans。阿默尔。数学。《社会分类》第349卷（1997年），第3093-304页·Zbl 0890.53047号 ·doi:10.1090/S0002-9947-97-01936-3
[34] N.Saveliev，关于（3）流形拓扑的讲座。《卡森不变量导论》，《德格鲁伊特教科书》，沃尔特·德格鲁伊特出版社，柏林，1999年·兹比尔0932.57001
[35] R.Schoen，“三维流形中稳定极小曲面的估计”，最小子流形研讨会，数学年鉴。103号研究生，普林斯顿大学出版社，普林斯顿，1983年，111-126·Zbl 0532.53042号
[36] R.Schoen和S.T.Yau，关于广义相对论中正质量猜想的证明，Comm.Math。物理学。65 (1979), 45-76. ·Zbl 0405.53045号 ·doi:10.1007/BF01940959
[37] R.Schoen和S.T.Yau，不可压缩极小曲面的存在性和非负标量曲率三维流形的拓扑，数学年鉴。(2) 110 (1979), 127-142. ·Zbl 0431.53051号 ·doi:10.2307/1971247
[38] J.Schultens，Seifert纤维空间Heegaard分裂的稳定性问题，拓扑应用。73 (1996), 133-139. ·Zbl 0867.57013号 ·doi:10.1016/0166-8641（96）00030-2
[39] F.Smith，《关于嵌入极小二球在三球中的存在性》，被赋予任意黎曼度量，博士论文，墨尔本大学，澳大利亚墨尔本，1982年。
[40] J.Stillwell，经典拓扑和组合群理论，Grad。数学课文。72，施普林格，纽约，1993年·Zbl 0774.57002号
[41] V.Toponogov，凸面上闭合测地线长度的评估，Dokl。阿卡德。Nauk SSSR 124（1959），282-284·Zbl 0092.14603号
[42] X.Wang，渐近双曲流形的质量，J.Diff.Geom。57 (2001), 273-299. ·Zbl 1037.53017号
[43] B.参数椭圆泛函平稳曲面的怀特、曲率估计和紧致性定理，发明。数学。88（1987），243-256·Zbl 0615.53044号 ·doi:10.1007/BF01388908
[44] B.White，《变黎曼度量的极小子流形空间》，印第安纳大学数学系。J.40（1991），161-200·Zbl 0742.58009号 ·doi:10.1512/iumj.1991.40.40008
[45] E.Witten，正能量定理的新证明，Comm.Math。物理学。80 (1981), 381-402. ·Zbl 1051.83532号 ·doi:10.1007/BF01208277
[46] 杨鹏，姚S.-T.，紧黎曼曲面和极小子流形的拉普拉斯算子的特征值，Ann.Scuola范数。主管比萨Cl.Sci。7 (1980), 55-63. ·Zbl 0446.58017号
[47] S.-T.Yau，《几何非线性分析》，Enseign。数学。33 (1987), 109-158. ·Zbl 0631.53002号
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