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秦、范;伯恩哈德·凯勒

通过Serre多项式的量子簇变量。附附录：Bernhard Keller关于整体簇同源性的研究。 （英语） Zbl 1252.13013号

J.Reine Angew。数学。 668, 149-190 (2012)。
对于偏对称非循环量子簇代数，作者用刚性模的箭矢格拉斯曼数的Serre多项式来表示量子F多项式和量子簇单项式。作为副产物，作者证明了这些变种的计数多项式的存在性以及关于非循环种子的正性猜想。这些结果完成了Caldero和Reineke之前的工作，并证实了Rupel最近的推测。
簇代数是由发明的S.Fomin公司和A.泽列文斯基【《美国数学学会期刊》第15卷第2期，第497–529页（2002年；Zbl 1021.16017号)]为了提供正则基和全正的组合方法。它们是Laurent多项式环的交换子代数，后来在[A.贝伦斯坦和A.泽列文斯基高级数学。195，第2期，405–455（2005年；Zbl 1124.20028号)].
在本文中，作者将注意力限制在量子簇变量上，量子簇变量是由突变递归定义的量子簇代数的某些生成元。回想一下，可交换的簇变量可以通过Caldero-Chapoton（CC-）公式用箭矢Grassmannian的Euler特征表示[P.卡尔德罗和F.查波顿，注释。数学。赫尔夫。81，第3期，595–616页（2006年；Zbl 1119.16013号)]. 然后，人们自然会要求一个精炼的CC-formula来计算量子簇变量。注意，量子簇变量的系数是\（q^{frac{1}{2}}\）中的Laurent多项式，这样（1）它们专门化为拟经典极限（q^{frac{1}{2{}\右箭头1）下箭矢Grassmannians的Euler特征，（2）它们在对合（q^}{1}}{2}）下是不变的。
作者通过下面的Serre多项式提出了一个改进的量子簇代数CC-formula。设（tilde{Q}）是一个冰箭，即顶点冻结的箭。假设（tilde{Q}）的矩阵可以完成为一个单位相容对，我们将其与量子簇代数（mathcal{a}^Q）相关联。进一步假设\（tilde{Q}\）的非冻结部分\（Q\）是无环的。赋予\（\ tilde{Q}\）一个通用的势，并考虑相关的可表示簇类别\（\ mathcal{D}\）和广义簇类别\。
定义1.2.1[精化CC-formula]对于任何（mathcal{D}）的无系数刚体\（M\），用\（M\）表示\（text{Ext}^1_{mathcal}（T，M）\）in{K} _0（0）（\text{mod}-kQ）\），并与\（M\）量子环面\（mathcal{T}\）中的以下元素关联：\[X_M=\sum_e e（\text{组}_e（\text{Ext}^1_{mathcal{C}}（T，M））q^{-\frac{1}{2}\langle e，M-e\rangle}X^{text{ind}_T（M） -\phi（e）}。\]
这里是符号\（E（\text{组}_e（\text{Ext}^1_{mathcal{C}}（T，M））表示的Serre多项式{组}_e（\text{Ext}^1_{mathcal{C}}（T，M）），即。\[E（\text{组}_e（\text｛Ext｝^1_｛\mathcal｛C｝｝｝（T，M））=\sum_i（-1）^i\text｛dim｝H^i（\text{组}_e（\text{Ext}^1_{mathcal{C}}（T，M））q^{\frac{1}{2} 我}.\]
本文的主要结果是，所有的量子团簇变量，以及进一步的所有量子团簇单项式（mathcal{A}^q\）都是这种形式{T} _n（n）\)是一个正则树，其顶点同时标记（量子）种子和作为其范畴对应物的刚性对象。主要定理是一个明确的去范畴化公式：
定理1.2.2。[主要定理]对于（mathbb）的任何顶点{T} _n（n）\)和任何\（1\leq i\leq n\），我们都有\[X_{T_i（T）}=X_i（T。\]此外，将一个对象从（M）到（X_M）的映射从（mathcal{D}）的无系数刚性对象的同构类集合到（mathcal{a}^q）的量子簇单项式集合诱导了一个双射。
作为主定理的一个副产品，作者推导出关于正性的以下重要结果：（mathcal{A}^{mathbb{Z}}）中的簇单项式在其展开式中具有非负系数，作为初始变量中的Laurent多项式。最近，D.卢比【国际数学研究，2011年，第14号，3207–3236（2011；Zbl 1237.16013号)]提出了量子团簇变量可以用箭矢-格拉斯曼计数多项式表示的猜想，并用组合方法证明了对于几乎处于非循环团簇中的变量可以用箭矢-格拉斯曼计数多项式来表示。显然，至少在无值箭图的情况下，这一猜想得到了本文主要定理的证实，因为Serre多项式也是计数多项式。
审核人：陈雪青（白水）

引用于2评论
引用于29文件

MSC公司：

13层60 簇代数

关键词：

量子簇代数;Serre多项式

引文：

Zbl 1021.16017号;Zbl 1124.20028号;Zbl 1119.16013号;Zbl 1237.16013号
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{F.Qin}和\textit{B.Keller}，J.Reine Angew。数学。668149-190（2012年；Zbl 1252.13013）
全文： 内政部 arXiv公司

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