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马蒂亚斯·琼森;伊丽莎白·沃尔坎

单项式映射的稳定性。 （英语） Zbl 1247.37040号

密歇根州数学。J。 60，第3期，629-660（2011）.
高维复动力学中的一个重要问题是在紧复流形的给定亚纯自映射（f:X\dashrightarrow X\）下构造流和测度不变量。如果自映射对（X）的上同调的作用与迭代兼容，则这种构造中的自映射（f）称为稳定的。当\（f\）不稳定时，可以尝试使坐标\（X'到X\）发生双态变化，从而使\（X'\）的诱导自映射稳定。如所示[C.法夫尔，“二维单项式地图”，密歇根数学。J.51，第3期，467–475（2003年；Zbl 1053.37021号)]，稳定性并不总是可以实现的，但另一方面，它可以用于曲面的双地形映射[J.迪勒和C.法夫尔，“曲面双地形图的动力学”，美国数学杂志。123，第6期，1135–1169（2001年；Zbl 1112.37308号)]，对于维\（2）[Favre，loc.cit.]中的一大类单项式映射，以及\（mathbb{C}^2）的多项式映射[C.法夫尔第一作者，“（mathbb{C}^2）的动态紧化”，Ann.Math。（2） 173，第1期，211-249（2011年；Zbl 1244.32012年3月)].
在正在审查的论文中，作者研究了复曲面变体的单（或等变）映射的稳定性问题，将[Favre，loc.cit.]的某些结果推广到更高的维度。复曲面簇\（X=X（Delta）\）由晶格\（N\cong\mathbb{Z}^m\）和（N\）中的扇形\（Delta \）定义。单项式自映射\（f:X\dashrightarrow X\）对应于\（mathbb{Z}\）-线性映射\（phi:N\ to N\），如果\（f^N）^*=（f^*）^N\），则称为\（1）-稳定，其中\（f*\）表示\（X\）的Picard群上的操作。本文的主要结果如下：
定理A。设（Delta）是格中的扇形，（N\cong\mathbb{Z}^m），（N_{mathbb}R}}=N\otimes_\mathbb2{Z}\mathbb{R}），（f:X（Delta。如果相关线性映射\（\ phi:N_｛\mathbb R｝\到N_｛\mathbb R｝\）的本征值是实的并且满足\（\mu_1>\mu_2>\cdots>\mu_m>0\），则存在\（\Delta\）的完全单纯形精化\（\Delta'\），使得\（X（\Delta'）\）是投影的，并且诱导映射\（f:X（\Delta'）\dashrightarrow X（\Delta'）\）是1-稳定的。
一般来说，簇\（X'=X（Delta'）\）不是光滑的，但作者证明（参见定理A'）可以获得光滑的复曲面簇\（X（Delta'）\，用迭代替换\（f\）。此外，如果扇形是平凡的，即X（Delta）是环面（（mathbb{C}^*）^m），那么对特征值的假设可以放宽，正如作者所证明的那样（参见定理B）。在定理（A）中选取（X（Delta’）平滑而不传递给迭代是相当精细的，作者只能在维数2中解决这个问题（参见定理C）。
为了证明这些定理，作者将其转化为关于线性映射（φ：N_{mathbb R}到N_{mathbb R{）的语句，并最终证明了他们可以通过添加锥来细化原始扇（Delta），使新扇（Delta'）包含有限的不变锥集合，它们共同吸引了\（\Delta'）中的所有一维锥体。
本文还包含了许多有趣且具体的例子，作者还提供了当（φ）的特征值具有混合符号时定理a的陈述的反例。
正如引言中所述，正在审查的论文的一些结果是由J.-L.林[“单项式映射的代数稳定性和度增长”，Math.Z.271，No.1-2，293–311（2012；Zbl 1247.32018号)].
审核人：Jasmin Raissy（图卢兹）

引用于1审查
引用于11文件

MSC公司：

10层37层 复多项式、有理映射、整函数和亚纯函数的动力学；法图和朱莉娅布景
14米25 双曲面变体、牛顿多面体、Okounkov体
32小时04 几个复变量中的亚纯映射
32H50型 全纯映射的迭代、全纯映射不动点及几个复变量的相关问题
2015年1月37日 扩展全纯映射；双曲线；全纯动力系统的结构稳定性

引文：

Zbl 1053.37021号;Zbl 1112.37308号;Zbl 1244.32012年3月;Zbl 1247.32018号
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\密歇根州数学，textit{M.Jonsson}和\textit{E.Wulcan}。J.60，第3号，629--660（2011；Zbl 1247.37040）
全文： 内政部 arXiv公司 欧几里得

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