本森·法布;丹·玛格利特 映射类组的入门。 （英语） Zbl 1245.57002号 普林斯顿数学系列49.新泽西州普林斯顿：普林斯顿大学出版社（ISBN 978-0-691-14794-9/hbk；978-1-400-83904-9/电子书）。xiv，492页。(2011). 设（S=S_{g，b，n}）是拓扑亏格（g）的连通的、有向的、可微的曲面，它包含（b\geq0）边界分量和（n\geq0\）穿孔。然后有两个基本对象可以附着到这样的曲面上，即用（text{Mod}（S）表示的映射类群和（S\）的Teichmüller空间。过去几十年来，人们对这些对象进行了研究，现在这些对象受到了古典和当代数学各个领域的大量文献的影响。正在审查的这本书深刻介绍了有关这两种对象的迷人理论，从而触及了构成这一丰富主题的各种代数、组合、分析和拓扑方面，这一主题近年来正经历着巨大的复兴，特别是考虑到模理论及其在数学物理中的现代应用。正如作者在前言中指出的那样，他们在本书中的目标是尽可能快速、直接地解释尽可能多的重要定理、示例和技术，同时给出（几乎）全部细节，并使文本保持广泛的独立性。此外，这本书还包含了对已知方法和证明的一些简化，对文献中不易获得的一些结果的阐述，以及一些新材料。至于精确的内容，该书由三部分组成，分别题为“映射类群”（第一部分）、“Teichmüller空间和模空间”（第二部分）和“分类和伪阿诺索夫理论”（第三部分）。每一部分都分为几个章节和小节，其中单个章节的主要结果在本书开头的“概述”中概述。第1部分介绍了曲面映射类组的基本理论，其中心主题是映射类组（text{Mod}（S））的代数结构与基础曲面（S）的组合拓扑之间的关系。第一章回顾了有关曲面和双曲几何的一些基本事实，包括使用简单闭合曲线及其测地线代表、它们的几何交点数、曲面的同位素概念，以及曲面拓扑中有关自同胚的一些有用事实。第2章给出了曲面（S）的映射类组（文本{Mod}（S））的定义，然后给出了最简单的具体例子和计算。在此背景下，解释并应用了经典算法“亚历山大方法”，并给出了M.Dehn关于2-torus（T^2）的映射类群（text{Mod}（T^ 2））结构的基本定理。第3章将著名的Dehn扭曲描述为基本映射类，即作为\（\text{Mod}（S）\）中最简单的无限级元素。作者深入讨论了Dehn扭曲及其对简单闭曲线的作用，并具体应用于亏格3的闭紧曲面的结构。第4章致力于通过Dehn扭曲来生成映射类群（text{Mod}（S））的问题，最终产生了著名的Dehn-Lickorish-Humphries定理、各种简单曲线复数的构造、著名的关于穿孔的Birman精确序列、，以及通过Dehn扭曲展示不同的生成元集。第5章讨论了某些映射类群的表示和低维同调。这包括Dehn扭之间的Dehn-Johnson“灯笼关系”，关于第一同调群（H_1（text{Mod}（s_{g，0,0}），mathbb{Z}）平凡性的J.Harer定理B.Wajnryb公司[Isr.J.Math.45，157-174（1983；Zbl 0533.57002号)]以及S.Gervais公司[《美国数学学会学报》第348卷，第8期，3097–3132页（1996年；Zbl 0861.57023号)]通过单形复形上的群作用证明有限可表示性，从G，W.Pitsch在秩为（H_2（\text{Mod}（s_{G，0,0}），mathbb{Z}）上的上界的有限表示中计算任意群的Hopf公式，以及J.Harer定理的新证明，\mathbb{Z}）\）对\（g\geq4\）是无限循环的。进一步分析了曲面（S_{g，1,0}）第二上同调群中的Euler类，并通过（S_{g，0,0}。第六章讨论了由映射类群对同调（H_1（S_{g，0,0}；mathbb{Z}）的作用所诱导的映射类群（S_{Mod}（S_，0,0}））的辛表示，辛表示的满射性的不同证明，相关的Torelli群，以及（S_{Mod}，0,1）上的一些经典结构定理)\)托雷利集团，这主要是由于J.-P.Serre，E.L.Grossman，D.Johnson和其他人。第七章研究了映射类群的有限子群，其中给出了Nielsen实现定理、闭双曲曲面的Hurwitz（84（g-1））定理、关于闭双曲面的自同构阶的Wiman（4g+2）定理和球面的Gauss-Bonnet公式等相关的基本结果。第八章阐述了几何群论中最美丽的结果之一：著名的Dehn-Nielsen-Baer定理。这个定理说明了\（S_{g，0,0}\）的扩展映射类群与\（S_}g，0,1}\）基本群的外自同构群\（\text{Out}（\pi_1（S_{g，0,0}））同构。第1部分以第9章结束，简要介绍了辫子群B_n以及Birman-Hilden定理的一个新证明。后者表示，对于（g\geq1），辫子群（B_{2g+1}）与映射类群（text{Mod}（S_{g，1,0}）的某些子群同构。本书的第2部分简要介绍了Teichmüller理论和黎曼曲面的相关模理论，重点介绍了与映射类群（text{Mod}（S_{g，0,0}）及其结构最直接相关的理论方面，如第1部分所研究的。在这方面，第二部分比第一部分更具分析性和几何性，在第一部分中，（text{Mod}（S_{g，0,0}））的群理论性质是最重要的。在第10章中，引入了曲面\（S\）的Teichmüller空间\（\text｛Teich｝（S）\）作为双曲结构在\（S\）上直至同构的空间。在讨论了\（text{Teich}（S）\）的其他一些解释之后R.弗里克和克莱茵【自守函数理论讲座。第一卷；群论基础。（Vorlesungenüber die Theorye der automorphen Functionen.Erster Band；die gruppentheoretischen Grundlagen.）莱比锡：B.G.Teubner.XIV（1897；JFM 28.0334.01号)]给出了形式为（text{Teich}（S_{g，0，0}）\cong\mathbb{R}^{6g-6}）的，从而在相应的Teichmüller空间上使用了所谓的Fenchel-Nielsen坐标。本章以关于\（S_{g，0,0}\）上双曲度量的基本“（9g-9）定理”结束，该定理通过曲面中的简单闭合曲线，建立了\（text{Teich}（S_{g,0}）\）到\（mathbb{R}^{9g-9}\）的嵌入。第11章解释了Teichmüller空间丰富几何的几个重要方面。本文的讨论涵盖了对\（\text｛Teich｝（S）\）作为分类空间的各种其他解释，L.Bers通过拟共形映射对Teichmüller理论的方法，O.Teichmüller关于极值拟共形映射的原始存在性和唯一性定理，测得的叶理，（text{Teich}（S））上的Teichmüller度量、Teichüller-测地线、全纯二次微分、Beltrami微分和可测Riemann映射定理。第12章通过Teichmüller理论，即借助解析同构（M_g\cong\text{Teich}（S_g）/\text{Mod}（Sg）），给出了亏格（g\geq2）的紧致Riemann曲面的模空间（M_g）的处理，其中（sg）表示亏格（g）的固定紧致Riemann曲面。拓扑上，\（S_g \）同胚于任何曲面\（S_{g，0,0}\）。本章的主要结果包括Fricke定理关于模空间（M_g）的非球面球面结构Teichmüller空间上（text{Mod}（s_g））的适当间断作用，模空间（g_g）所谓“（varepsilon）-厚部分”的Mumford紧性判据，以及确定无穷远处的拓扑（M_g）（关于诱导的Teichmüller度量）。本章最后证明了模空间（M_g）的有理上同调与映射类群（text{Mod}（S_g））的有理性上同调同构，从而表明（M_g\）非常接近于（S_g\）束的分类空间。最后，第3部分的主要目标是更深入地研究映射类组（text{Mod}（S））的各个元素。为此，第13章致力于证明著名的Nielsen-Thurston分类定理，其中元素在（text{Mod}（S_g））中的分类，其中，（S_g\）又是亏格的紧致Riemann曲面。这个定理说明了\（text{Mod}（S_g）\）中的每个映射类都是（1）周期的；（2） 简单闭曲线的可约性；或者（3）是伪Anosov同胚。作者的证明使用了本书前面证明的许多想法和结果，尤其是在第2部分中。在随后的第14章中，对（text{Mod}（S_g））中的伪阿诺索夫类进行了更深入的研究。作者给出了伪阿诺索夫同态的五种显式构造，描述了伪阿诺索夫同胚的轨道，探讨了那些被测叶理的特殊性质，这些叶理是一些伪阿诺索夫元素的稳定（或不稳定）叶理，并证明了伪阿诺索夫同胚拉伸因子的几个基本事实。第3部分和本书以第15章结尾，其中阐述了W.Thurston对尼尔森-丘斯顿分类定理的证明。然而，作者并没有给出一个正式的处理，而是试图说明（并勾勒出）瑟斯顿方法背后的美丽思想圈。这是通过在一开始解释一个基本示例以及所谓“火车轨道”的关键组合装置来实现的，然后通过马尔可夫划分、分层、测量叶理和其他关键概念给出瑟斯顿一般理论的草图。关于这个主题，可以在经典著作《瑟斯顿的表面工作》中找到一个非常清晰和详细的描述，作者是A.法蒂,F.劳登巴赫和V.波那鲁【瑟斯顿的表面研究。由Djun Kim和Dan Margalit从法语翻译而来。数学笔记48。新泽西州普林斯顿：普林斯顿大学出版社。xiii，255页（2012年；Zbl 1244.57005号)].这本书有丰富的参考书目，一份精心编制的索引，以及大量的插图和极具教育意义的文本数字。最丰富、最通用的关于绘制班级群体及其相关理论的材料的呈现以其高度的清晰性、完整性、准确性和解释性的掌握而脱颖而出。毫无疑问，这本入门书是研究生、教师和研究人员最完整的教科书，他们正在寻找古典数学和当前数学这一迷人领域的深刻来源。审核人：Werner Kleinert（柏林） 引用于7评论引用于586文件 数学溢出问题： 带边界和穿孔曲面的Dehn-Nielsen-Baer定理 MCG有限阶元的最大阶 双曲群的现代参考文献 同伦本质简单闭合曲线是同位素的证明 曲面的伪阿诺索夫矩阵（参考请求） MSC公司： 57-01 关于流形和细胞复合体的介绍性说明（教科书、教程文件等） 30-01 关于复变量函数的介绍性阐述（教科书、辅导论文等） 10层30 紧致黎曼曲面与均匀化 30层60 黎曼曲面的Teichmüller理论 57立方米 Dehn引理、球面定理、环路定理、非球面（MSC2010） 38楼20层 与拓扑或分析相关的其他组 32国集团15 黎曼曲面的模，Teichmüller理论（多变量的复杂分析方面） 2007年7月57日 群论中的拓扑方法 57号05 欧氏空间、流形的拓扑（MSC2010） 36楼20层 编织群；阿廷集团 14甲15 族，曲线模数（解析） 关键词：映射类组;托雷利集团;Dehn扭转;Teichmüller空间;模空间;黎曼曲面;伪阿诺索夫理论 引文：Zbl 0533.57002号;Zbl 0861.57023号;JFM 28.0334.01号;Zbl 1244.57005号 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{B.Farb}和\textit{D.Margalit}，映射类组的入门。新泽西州普林斯顿：普林斯顿大学出版社（2011；Zbl 1245.57002）