查尔斯·法夫尔;马蒂亚斯·琼森 \（\mathbb{C}^2\）的动态紧化。 （英语） Zbl 1244.32012年3月 安。数学。(2) 173，第1期，211-249（2011）. 在这篇非常有趣的论文中，作者充分利用了他们在过去几年中发展起来的动态估值理论的力量（尤其参见[作者，“特征估值”，Ann.Sci.E.c.Norm.Supér.（4）40，No.2，309-349（2007；Zbl 1135.37018号)]、和[S.Boucksom公司作者，“亚纯曲面图的度增长”，杜克数学。J.141，第3期，519–538（2008年；Zbl 1185.32009年)])证明了关于\（\mathbb｛C｝^2）的多项式自同态动力学的几个深层定理。主要结果是以下定理A。设（F:mathbb{C}^2到mathbb}C}^ 2）是多项式映射。然后存在一个至多具有商奇异性的射影紧化（X\supset\mathbb{C}^2），使得从（F）到（X）的升力（tildeF）最终是代数稳定的，也就是说，存在（n\geq 1），使得（（tilde{F}^{n+j}）^*=（tilde}F}^n）^*^*）^在Picard组Pic\（（X）\）上为所有\（j\geq 1 \）。此外，在许多情况下（实际上总是用（F^2）替换\（F\）），紧致化\（X\）是光滑的，它是从\（mathbb{P}^2）获得的，在无穷远处有有限多个爆破。这个定理的第一个非平凡的结果是，（F）的迭代次数序列满足一个积分线性递推公式；这应该与以下示例进行比较B.哈塞尔布拉特和J.道普[“单项式地图的度增长”，遍历理论动态系统27，第5期，1375–1397（2007；Zbl 1143.37032号)]（mathbb{C}^2）的有理自映射，使得度序列不满足任何线性递归公式。（deg（F^n）^{1/n}）作为（n到infty）的极限是（F）的渐近度（lambda_1），众所周知，（lambda ^2_1\geq\lambda_2）总是，其中（lambada_2）是（F\）的拓扑度。当\（lambda^2_1>\lambda_2）时，在[Boucksom and the authors，loc.cit.]中已经证明了\（deg（F^n）\sim\lambda ^n_1）；在本文中，他们研究了这种情况（lambda^2_1=lambda_2），表明然后要么是（deg（F^n）simn\lambda_n_1），要么是（de（F^n）sim\lambda ^n_1，并给出了这两种情况的正规形式（直到通过多项式自同构的共轭）。作者还研究了（mathbb{C}^2）多项式自同态的遍历理论。当\（lambda_2>\lambda_1\）时，众所周知，最大熵的遍历度量可以定义为一般点的前像的极限（参见，例如[J.E.Fornss（J·E·福恩）和N.西博尼，高维复杂动力学。二、。安。数学。螺柱137、135–182（1995；Zbl 0847.58059号)]). 当\（lambda_2<\lambda_1\）此构造失败时；V.盖吉[“（mathbb{C}^2）多项式映射的动力学”，《美国数学杂志》124，第1期，75–106（2002；兹比尔1198.32007)])相反，建议首先定义两个正闭（（1，1）-流，分别在拉回和前推下保持不变，然后通过求它们的交集建立最大熵的遍历测度。这两种电流的存在是定理A的另一个推论；然而，为了确保交点的存在，需要很好地控制它们势的奇异性。最后，作者能够获得拉回不变电流的这种控制，定义为\（text{dd}^cG^+\），其中\（G^+=lim_{n\to\infty}\lambda_1^{-n}\log^+\|F^n\|\）。（当（lambda_2=lambda_1）时，最大熵的遍历测度的正确构造尚不清楚；然而，作者提供了满足此等式的映射示例列表。）这些证明依赖于作者开发的赋值技术，为控制多项式自同构在\（mathbb{C}^2）的所有紧化的无穷远处对除数集的作用提供了有效的工具。要获得完整的结果是一项艰巨的工作，需要注意几个技术性和微妙的细节；但作者们以尽可能清晰的方式解释了他们使用的论点，阅读论文所需的努力得到了结果的充分补偿。审核人：马可·阿巴特（比萨） 引用于4评论引用于36文件 MSC公司： 32小时50分 全纯映射的迭代、全纯映射不动点及几个复变量的相关问题 13甲18 交换环的赋值及其推广 32小时04 几个复变量中的亚纯映射 32J05型 解析空间的紧化 10层37层 复多项式、有理映射、整函数和亚纯函数的动力学；法图和朱莉娅布景 关键词：代数稳定性;压实;度增长;全纯动力学;多项式映射;Riemann-Zariski空间 引文：Zbl 1135.37018号;Zbl 1185.32009年;Zbl 1143.37032号;Zbl 0847.58059号;Zbl 1198.3207号 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{C.Favre}和\textit{M.Jonsson}，安.数学。（2） 173，第1号，211--249（2011；Zbl 1244.32012） 全文： DOI程序 arXiv公司 参考文献： [1] E.Bedford和J.Diller，“双有理曲面图的能量和不变测度”，杜克数学。J.，第128卷，iss。2005年，第331-368页·Zbl 1076.37031号 ·doi:10.1215/S0012-7094-04-12824-6 [2] E.Bedford和K.Kim，“关于高维双数映射的度增长”，J.Geom。分析。，第14卷，iss。2004年，第567-596页·Zbl 1067.37054号 ·doi:10.1007/BF02922170 [3] E.Bedford和K.Kim，“线性分数递归的周期性：双国家曲面图的度增长”，密歇根数学。J.，第54卷，iss。2006年，第647-670页·Zbl 1171.37023号 ·doi:10.1307/mmj/1163789919 [4] E.Bedford和K.Kim，“单项映射度序列中的线性递归”，遍历理论动态。《系统》，第28卷，iss。2008年，第1369-1375页·Zbl 1161.37032号 ·doi:10.1017/S0143385708000242 [5] E.Bedford和J.Smillie，“（{mathbf C}^2）的多项式微分同态：电流、平衡测度和双曲性”，发明。数学。，第103卷，iss。1991年，第69-99页·Zbl 0721.58037号 ·doi:10.1007/BF01239509 [6] M.P.Bellon和C.-M.Viallet，“代数熵”，《公共数学》。物理。，第204卷，iss。2，第425-437页，1999年·Zbl 0987.37007号 ·doi:10.1007/s002200050652 [7] 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