×
塞巴斯蒂安·卡萨莱纳·马汀;蒙特塞拉特Teixidor i Bigas

曲线上向量丛的Brill-Noether轨迹的奇异性。 （英语） Zbl 1233.14025号

数学。纳克里斯。 284，第14-15号，1846-1871（2011）。
设（C\）是亏格（g\geq2）的光滑复射影曲线，并设（{mathcal U}（r，d））表示（C）上秩（r）和度（d）的稳定向量丛的模空间。众所周知，这是维数为（r^2（g-1）+1）的光滑不可约拟投影簇。对于任何正整数\（k），可以定义一个子模式（Brill-Noether轨迹），理论上由\（B^k_{r，d}:=\{E\in{mathcal-U}（r，d）|h^0（E）\geq-k\}给出集合。这是一个简并轨迹，具有期望维数\（\rho=\rho（g，k，{mathcal U}（r，d））：=r^2（g-1）+1-k（k-d+r（g-1 vee\otimes k_C））。
这里要解决的问题是计算（B^k_{r，d}）在\（E\）处的重数和切锥。对于情况（r=k=1），Riemann计算了（d=g-1）的多重性（在这种情况下，轨迹是经典的（Theta）-除数）。这被扩展了G.坎普夫任意度（0\leq d\leq g-1）[Ann.Math.（2）98，178-185（1973；Zbl 0275.14023号)]并随后进一步扩展到情况（k>1）（参见中的定理VI 2.1[E.Arbarello、M.Cornalba、P.A.Griffiths和J.哈里斯代数曲线的几何。第一卷《数学格伦德勒》（Grundlehren der mathematischen Wissenschaften），第267页。纽约等地：Springer-Verlag。(1985;兹伯利0559.14017)]). 这些来源也描述了切线锥。
本文的第一个目的是推广（r>1）的Kempf定理。事实上，假设（0\leq\rho<\dim{\mathcal U}（r，d）），作者证明了Kempf的参数允许他们证明，如果乘法映射（mu_W:W\otimes H^0（E^\vee\otimes K_C）到H^0的所有线性子空间（W\）都是内射的，那么切锥（C_EB^K_{，d}\）是Cohen Macaulay，减少和正常；它们还确定了（C_EB^k{r，d}）作为（H^1（E^vee\otimes E）的子簇的理想以及（B^k_{r，d}）在任意点（E\ in{mathcal U}（r，d））的多重性（定理3.4）。关于（mu_W）的条件的意义在于，它等价于说位于（E）上的相干系统的某个模空间的所有点（E，W）都是局部维（rho）的光滑点。特别是，当\（k=1\）总是满足这个条件时，切线锥由\（h^0（E）\乘以h^0{多}_EB^1_{r，d}=\左（开始{矩阵}h^1（E）\\h^0（E）-1\结束{矩阵{右））（定理1.1）。作者还获得了多重性的弱上界（备注2.14）。
如果\（E\ in{\mathcal U}（r'，d'）\），则还可以定义\（{\matchcal U}（r，d）\）的子模式\（B^k_E:=\{M\ in{\ mathcal U}。乘法映射现在更难计算，但在第2节中获得了定理1.1行上的一些部分结果。在\（k=1\）和\（rd'+r'd=rr'（g-1）\）的情况下，\（Theta_E:=B^1_E\）的期望维数为\（1），可以将\（Theta _E\）视为“广义\（Theata\）-除数”。如果（Theta_E）是除数，作者在第4.1节（定理1.2）中证明，对于束的任何（M在{mathcal U}（r，d）中）和任何精确序列（0到L到E到F到0），都有（text｛多个｝_M\Theta_E\geq h^0（音符M）+h^1（音符M\）；此外，如果\（h^0（E\otimes M）\leq2\），则\（\text{多}_M\Theta_E>h^0（E\otimes M）当且仅当存在如上所述的与（h^0）（L\otime M）+h^1（F\otimesM）>h^ 0（E\ otimes M\）完全相同的序列时。根据（推论1.3），当且仅当（h^0（音符M）或（h^ 0（音调M）=1），并且存在一个带（音调）的束的精确序列（0到L到E到F到0）{多}_M\Theta_E>h^0（音符M）+h^1（音符M\）。在情况\（r=1\）、\（d=0\）和\（d'=r'（g-1）\）中，作者在第5节（定理5.1）中表明，第二种可能性可能出现，但对于一般\（E\ In{mathcal U}（r'，d'）\）则不会出现。对于\（r'=2\），这些事实分别由Y.拉斯洛[《杜克数学杂志》64、233–347（1991；Zbl 0753.14023号)]第二作者[Math.Nachr.196，251-257（1998；Zbl 0954.14024号)]. 利用高阶变形理论，作者进一步证明了（定理1.4），如果（L）和（K_C符号F）是（B^1_{1，d}）中的一般线丛，并且（0到L到E到F到0）由一个一般元素定义（H^1（F^vee符号L）中的E），则（E在{mathcal U}（2,2（g-1））和（text{多}_{{\mathcal O}_C}\Theta_E=h^0（L）+h^1（F）>h^0。
最后，在第6节中，作者观察了（Theta_E）的切锥与（C）的正则模型几何之间的联系，并得到了关于该模型正割变化的部分结果。
审核人：P.E.Newstead（利物浦）

引用于2评论
引用于9文件

MSC公司：

14小时60分 曲线上的向量丛及其模

关键词：

向量束;θ除数;Brill-Noether轨迹;代数曲线;奇点

引文：

Zbl 0275.14023号;Zbl 0559.14017号;Zbl 0753.14023号;兹比尔0954.14024
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{S.Casalaina-Martin}和\textit{M.Teixidor i Bigas}，数学。纳克里斯。284，编号14-151846--1871（2011；Zbl 1233.14025）
全文： 内政部 arXiv公司

参考文献：

[1] 阿巴雷洛，《代数曲线的几何》卷I.Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften[数学科学基本原理]卷267（1985）
[2] Bradlow，Riemann曲面上的稳定增广丛，代数几何中的向量丛，pp 15-（1995）·doi:10.1017/CBO9780511569319.003
[3] Bradlow，相干系统和Brill-Noether理论，国际数学杂志。第683页第14（7）页–（2003）·兹比尔1057.14041 ·doi:10.1142/S0129167X03002009
[4] Casalaina-Martin、Cubic三重和abelian五维变种。二、 数学。Z.260（1）第115页–（2008）·Zbl 1144.14038号 ·doi:10.1007/s00209-007-0264-7
[5] Casalaina-Martin，Prym theta除数的奇点，《数学年鉴》。170第163页–（2009年）·Zbl 1180.14029号 ·doi:10.4007/annals.2009.170.163
[6] Casalaina-Martin，立方三重和五维阿贝尔变种，J.Algebr。地理。14（2）第295页–（2005）·Zbl 1082.14047号 ·doi:10.1090/S1056-3911-04-00379-0
[7] Cilleruelo，Riemann曲面上秩为2的半稳定束的截面上的Severi界，《数学年鉴》。（2） 154（3）第739页–（2001）·Zbl 1073.14534号 ·doi:10.2307/3062146
[8] 《θ因子的奇点和不规则变量的双有理几何》，美国数学杂志。Soc.10（1）第243页–（1997）·Zbl 0901.14028号 ·doi:10.1090/S0894-0347-97-00223-3
[9] Eisenbud，低秩矩阵的向量空间，高级数学。70（2）第135页–（1988）·Zbl 0657.15013号 ·doi:10.1016/0001-8708（88）90054-0
[10] 富尔顿，交集理论，第二版。3.佛尔吉。数学现代调查系列第2卷（1998年）·Zbl 0885.14002号
[11] 格林，标准曲线理想中的四阶二次曲线，发明。数学。75（1）第85页–（1984）·Zbl 0542.14018号 ·doi:10.1007/BF01403092
[12] Grzegorczyk，模空间和向量丛359 pp 29–（2009）·doi:10.1017/CBO9781139107037.003
[13] 哈特肖恩，代数几何。数学研究生课文第52卷（1977年）
[14] 他，《系统模块空间》，国际数学杂志。第9（5）页，第545页–（1998年）·Zbl 0936.14008号 ·doi:10.1142/S0129167X98000257
[16] Kempf，《关于黎曼定理的几何》，Ann.Math。（2） 98第178页–（1973）·Zbl 0275.14023号 ·doi:10.2307/1970910
[17] Kempf，阿贝尔积分。马特米提卡研究所Monografías del Instituto de Matemáticas第13卷第vii页+225页–（1983）
[18] 金，代数曲线上Brill-Noether对的模，国际数学杂志。第6（5）页，第733页–（1995年）·Zbl 0861.14028号 ·doi:10.1142/S0129167X95000316
[19] Kollár，Shafarevich映射和自形形式（1995）·doi:10.1515/9781400864195
[20] 兰格，《关于Clifford的秩-3丛定理》，马特·伊贝隆评论。22（1）第287页–（2006）
[21] Laszlo，Un theéorème de Riemann pour les diviseurs the ta sur les espaces de modules de fibres stables sur une courbe，数学公爵。J.64（2）第333页–（1991）·Zbl 0753.14023号 ·doi:10.1215/S0012-7094-91-06416-1
[22] Laumon，Fibés vectorriels spe ciaux，公牛。Soc.数学。Fr.119（1）第97页–（1991）
[23] 拉扎斯菲尔德，《代数几何中的正定性：I&II pp xviii+385–（2004）》·兹比尔1066.14021 ·数字对象标识代码：10.1007/978-3-642-18808-4
[24] Le Potier，代数几何中的向量丛，达勒姆1993 208 pp 179–（1995）
[25] 李，谱曲线，θ除数和皮卡德束，国际数学杂志。第2（5）页，第525页–（1991年）·Zbl 0751.14019号 ·doi:10.1142/S0129167X91000296
[26] 芒福德，阿贝尔品种。塔塔数学基础研究所第5卷pp viii+242–（1970）
[27] Narasimhan，紧黎曼曲面上向量丛的模，《数学年鉴》。（2） 第14页第89页–（1969年）·兹比尔0186.54902 ·数字对象标识代码：10.2307/1970807
[28] Narasimhan，紧Riemann曲面上的稳定向量束和unitari向量束，Ann.Math。（2） 82第540页–（1965）·Zbl 0171.04803号 ·数字对象标识代码：10.2307/1970710
[29] Raghavendra，模对和广义θ因子，Tohuko Math。J.（2）46（3）第321页–（1994）·Zbl 0828.14005号 ·doi:10.2748/tmj/1178225715
[30] Ramanan，模空间和向量丛第165页–（2009）·doi:10.1017/CBO9781139107037.007
[31] 雷诺德（Raynaud），《路旁纤维向量截面图》（Sections des fibres vectorriels sur une courbe），布尔。Soc.数学。Fr.110第103页–（1982）·Zbl 0505.14011号
[32] Russo，关于Lange的一个猜想，J.Algebr。地理。第8页，483页–（1999年）
[33] Sundaram，特殊除数和向量丛，Tohuku数学。J.（2）39（2）第175页–（1987）·Zbl 0631.14021号 ·doi:10.2748/tmj/1178228323
[34] 比格斯，稳定向量丛的Brill-Noether理论，杜克数学。J.（62）2第385页–（1991）·Zbl 0739.14006号 ·doi:10.1215/S0012-7094-91-06215-0
[35] Bigas，广义Brill-Noether轨迹的黎曼奇异性定理，数学。纳克里斯。196页，第251页–（1998年）·Zbl 0954.14024号 ·doi:10.1002/mana.19981960111
此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。