普雷斯特，迈克 可定义的加法类别：纯度和模型理论。 （英语） Zbl 1229.03034号 内存。美国数学。Soc公司。987，v，109 p.（2011）。 在过去的30年里，有很多不同的数学流派以惊人的方式融合在一起：模型论、范畴论和模块论的“抽象”和“具体”部分（几乎可以说是“纯粹”和“应用”部分）。普雷斯特最近写了两篇关于这些发展的引人注目的、全面的综述和总结，第一篇是简明扼要的文本[纯度、光谱和本地化。数学及其应用百科全书121。剑桥：剑桥大学出版社（2009；Zbl 1205.16002号)]第二本是正在审查的专著。第一本书几乎完全强调了对这些发展的分类理论观点。本专著的目的是提供一种模型理论处理。这些年来，许多材料（通常是零碎的）出现在其他地方；这本专著是第一本全面、统一地论述这一主题的专著。在主题领域的“早期”（20世纪80年代），第一次全面概述也是由M.普雷斯特，非常有影响力的[模型理论和模块。伦敦数学学会讲义系列，130。剑桥等：剑桥大学出版社（1988；Zbl 0634.03025号)]. 这两本书综合了自该书出版以来的各种发展，增加了但并没有完全取代其内容。那么，这些不同的相互作用的数学菌株是什么呢？首先，有经典的模理论，它是代数的一部分。固定环上的模（实际上，环上的左模或右模的类别）用于阐明环的属性；他们确实对自己有独立的兴趣。很早就认识到范畴理论的语言，特别是函子的语言和同调代数的语言，对于正确理解这一材料至关重要。其次，模型理论是数学逻辑的一部分。在繁花似锦的论文中[第页。埃克洛夫和G.公司。萨巴格，安。数学。逻辑2，251-295（1971；Zbl 0227.02029)]并一直持续到20世纪80年代中期（特别参见[米。齐格勒Ann.Pure应用。逻辑26149-213（1984；Zbl 0593.16019号)])发现模型理论的核心思想与模块理论的核心观点之间存在着根本性的联系。因此，模块的模型理论在本质上是非常代数化的，而自然代数或模型理论问题有“另一面”的对应物。模型理论的核心思想之一是“可定义集”；定义集合的每个公式都可以被视为恒等函子（有限幂）的子函子。在模理论的情况下，情况要好得多：由于模型理论概念的代数性质，我们可以将那些可定义的可加函子带到阿贝尔群的范畴中：再次让我们彻底了解模理论的代数习惯。但还有更多。第三个流源于麦凯学派和其他学派的工作，他们通过可访问的类别和拓扑语言解释了模型理论的许多基础（从[米。麦凯和G.公司。E.公司。雷耶斯，一阶分类逻辑。拓扑学和相关范畴理论中的模型理论方法。莱克特。数学笔记。611.柏林-海德堡-纽约：施普林格-弗拉格（1977；Zbl 0357.18002号)]). 这里的观点是，“理论”（句法宾语）只是形成了一种类似于“模型”（语义宾语）的范畴。一旦确定了适当的类别，关于解释的模型理论问题就变得透明了（我们需要确定正确的函子类型）。这个观点有一个强大的“概念”完备性定理[米。麦凯Ann.Pure应用。《逻辑学》第40卷第2期，167-215页（1988年；兹比尔0669.03037)]，以及现代模型理论最重要的工具之一，Shelah的想象宇宙，是根据一个理论的“前拓扑完成”来解释的。这在麦凯和雷耶斯之前引用的作品中已经是固有的，但要清楚地阐明两者之间的联系，请咨询五、。哈尼克【CRM Proc.Lect.Notes 53，79–106（2011；Zbl 1243.03080号)]. 它正是范畴模型理论（有限）可及范畴的加性版本[米。麦凯和R.Paré可及范畴：范畴模型理论的基础。康斯坦普。数学。104.普罗维登斯，RI:美国数学学会（AMS）（1989；Zbl 0703.03042号)]这在模块模型理论中很重要。这里有很多；任何试图学习这一主题并通过遵循上一段的参考来使不同流之间的所有连接的尝试都是势不可挡的。这本专著汇集了这些不同的思想流，提出了代数、模型理论和范畴理论如何协同工作和相互作用的统一观点，并强调了模型理论的观点。第一个重要的步骤是认识到，对于大多数代数和模块模型理论来说，我们想要做的一切在一个更抽象的设置中都同样有效，本质上（如Prest所说）“当环（R）被任何小的预加范畴取代时会产生什么结果”。（这一点的根源是认识到模块模型理论同样适用于“费希尔意义上的阿贝尔结构”）。本文第一部分的大部分内容都致力于发展这一背景。第二个重要步骤是认识到，在模型理论意义上，对于这些类别，“可定义的”是由这些类别的子类别的某些属性或它们之间的某些函子准确捕获的。论文的第二部分，大致从第18章开始，致力于在这个更一般的背景下发展模块的模型理论。在这个阶段，大多数证明都可以省略：尽管有非常新和非常抽象的上下文，但这些证明基本上都与模块模型理论早期的证明相同。在这一点上，值得广泛引用和解释Prest的摘要，以总结本文的内容：“此外，即使在给定的模块类别中，许多子类别也会形成一个“自给自足”的上下文，在这个上下文中，模型理论可以在不参考更大的模块类别的情况下发展。可定义的加性类别的概念涵盖了所有这些上下文。（想象）在可定义的可加范畴中，用于模型理论的语言可以从（结构和同态的）范畴本身获得，即作为这些函子的范畴到用乘积和直接极限交换的阿贝尔群的范畴。对偶地，该模型理论所适用的可定义范畴的对象——模（或函子，或余模，或槽）——可以从作为该语言基础的小阿贝尔范畴（pp-imaginaries范畴）中恢复为精确的函子。可定义范畴之间与乘积和直接极限交换的加性函子正是通过解释（使用pp公式）给出的函子；它们是自然对偶的，在pp-imaginaries的相应类别之间具有精确的函子。所有这一切，包括（前）可加性类别的相关背景都将被介绍，然后是可定义可加性范畴模型理论各个方面的发展。”正如Prest所指出的那样，本文的大部分内容“是以一种统一的形式，在分散在文献中的结果的一般背景下进行的‘工作’……”，但也有一些新的结果，包括一些有意义的结果。特别是，由于定理12.10，以下内容相互排斥：可定义范畴的模型理论解释，一个接一个；它们的想象范畴之间的精确函子（后者是典型的小阿贝尔范畴）；以及保留直接积和直接极限的可定义范畴之间的函子。有一个全面的参考书目，更重要的是，在论文正文中全面详细地参考了这些文献和主题领域的历史发展。任何希望追溯到原始源材料或搜索特定主题的更多详细信息的人都可以在这里找到很好的指导。考虑到所涵盖的内容非常多样化，索引也会很有帮助，而且在一篇100多页的论文中也不会出现不合标准的情况。审核人：托马斯·库塞拉（温尼伯） 引用于1审查引用于39文件 MSC公司： 03C60型 模型理论代数 03元52分 模型类的属性 第16天90分 结合代数中的模范畴 18立方厘米 可访问和本地呈现的类别 18E05型 预添加剂、添加剂类别 18E10型 阿贝尔范畴，Grothendieck范畴 18E35型 范畴定位、分数演算 03-02 与数学逻辑和基础相关的研究展览（专著、调查文章） 18-02 与范畴理论相关的研究综述（专著、调查文章） 关键词：加性类别;阿贝尔范畴;可定义类别;模块;函子范畴;有限可访问;局部相干;纯投射的;pp形;pp-类型;超产物;Serre子类别;想像的;初等对偶 引文：Zbl 1205.16002号;Zbl 0634.03025号;Zbl 0227.02029;Zbl 0593.16019号;Zbl 0357.18002号;Zbl 0669.03037号;Zbl 0703.03042号;Zbl 1243.03080号 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{M.Prest}，可定义的加法类别：纯度和模型理论。普罗维登斯，RI:美国数学学会（AMS）（2011；Zbl 1229.03034） 全文： 内政部 参考文献： [1] JiříAdámek和JiříRosický，《本地可呈现和可访问的类别》，伦敦数学学会讲义系列，第189卷，剑桥大学出版社，剑桥，1994年·Zbl 0795.18007号 [2] J.Adámek和J.Rosickó，关于纯商和纯子对象，捷克斯洛伐克数学。J.54（129）（2004），第3期，623-636·Zbl 1080.18500号 ·doi:10.1007/s10587-004-6413-9 [3] Murray Adelman，阿贝尔分类优于加性分类，J.Pure Appl。《代数3》（1973），103-117·Zbl 0287.18009号 [4] 拓扑与同调故事。Tome 2，数学课堂笔记，第270卷，Springer-Verlag，纽约柏林，1972年（法语）。Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie，1963年至1964年（SGA 4）；Dirigépar M.Artin、A.Grothendieck和J.L.Verdier。Avec la 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