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海尔弗，B。

关于谱最小划分：一项调查。 （英语） Zbl 1225.35158号

米兰J.数学。 第575-590号第78页（2010年）.
摘要：给定（mathbb R^n）（或黎曼流形）中的有界开集（Omega）和（k）开集（D_j）对（Omega\）的划分，我们可以考虑量（max_j\lambda（D_j）），其中（lambda。如果我们用\（{mathfrak L}_k（W）\）表示\（max_j\lambda（D_j）\）的所有\（k）-分区上的下确界，那么最小（谱）\（k\）-分区就是实现下确界的分区。虽然当（k=2）时，分析是相当标准的（我们发现第二个特征函数的节点域），但对更高（k）的分析变得非常重要和有趣。
在这篇综述中，我们主要考虑二维情况并讨论最小谱划分的性质。我们通过考虑圆盘、矩形或球体（（k=3））等简单情况来说明显式确定它们的困难，并且还将展示六边形在（{mathfrak L}_k（W））的渐近行为中的可能作用，如（k~+infty）。
我们还讨论了一些Aharonov-Bohm-Schrödinger算子在生成最小分区候选算子中的作用。最后，我们比较了最小分区的不同概念，并提出了一些开放问题。
这项工作是与T.Hoffmann-Ostenhof合作开始的，并在过去几年与合著者V.Bonnaillie-Noél、T.Hoff mann-Ostenhof、S.Terracini和G.Vial继续进行。

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MSC公司：

35磅05英寸 偏微分方程线性谱理论的一般主题
35J05型 拉普拉斯算子、亥姆霍兹方程（约化波动方程）、泊松方程
35J15型 二阶椭圆方程
35R01型 歧管上的PDE
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\textit{B.Helffer}，米兰J.数学。78，编号2，575--590（2010；Zbl 1225.35158）
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参考文献：

[1] 佩·贝拉德。移植等光谱。I.数学。Ann.292（3）（1992），第547-559页。II J.伦敦数学。Soc.（2）48（3）（1993），第565-576页。
[2] C.J.主教。关于谐波测量的几个问题。Dahlberg，B.等人（编辑），具有最小光滑度的偏微分方程及其应用。IMA卷数学。申请。42（1992），第89-97页。
[3] V.Bonnaillie和B.Helffer。平方上Aharonov-Bohm哈密顿量特征值的节点集的数值分析及其在最小划分中的应用。出现在实验数学中·Zbl 1270.35025号
[4] Bonnaillie-Nöel V.，Helffer B.，Hoffmann-Ostenhof T.：谱最小划分，Aharonov-Bohm哈密顿量和矩形情况下的应用。物理杂志A：数学。西奥。42(18), 185203 (2009) ·Zbl 1196.35031号 ·doi:10.1088/1751-8113/42/18/185203
[5] V.Bonnaillie-Nöel、B.Helffer和G.小瓶。节点域和谱最小分区的数值模拟。ESAIM控制优化。计算变量DOI:10.1051/cocv:2008074（2009）。
[6] B.Bordin、D.Bucur和E.Oudet。特征值的最优划分。2009年预印本·Zbl 1207.49050号
[7] Bucur D.，Buttazzo G.，Henrot A.：一些最优划分问题的存在性结果。高级数学。科学。申请。8, 571–579 (1998) ·Zbl 0915.49006号
[8] Burdzy K.，Holyst R.，Ingerman D.，March P.：Fleming-V物型模型中的构型转换和拉普拉斯特征函数的概率解释。《物理学杂志》。A： 数学。Gen.29，2633–2642（1996）·Zbl 0901.60054号 ·doi:10.1088/0305-4470/29/11/004
[9] L.A.Caffarelli和F.H.Lin。一个特征值的最优分配问题。科学计算杂志31（1/2）DOI:10.1007/s10915-006-9114.8（2007）
[10] Conti M.，Terracini S.，Verzini G.：与非线性特征值相关的最优分割问题。《功能分析杂志》198，160–196（2003）·Zbl 1091.35051号 ·doi:10.1016/S0022-1236（02）00105-2
[11] Conti M.，Terracini S.，Verzini G.：反应扩散系统空间分离的变分问题。印第安纳大学数学。J.54，779–815（2005）·Zbl 1132.35397号 ·doi:10.1512/iumj.2005.54.2506
[12] Conti M.，Terracini S.，Verzini G.：关于一类与Fučik谱和单调性公式相关的最优划分问题。计算变量22，45–72（2005）·Zbl 1132.35365号 ·doi:10.1007/s00526-004-0266-9
[13] Cybulski O.，Babin V.，Holyst R.：空间分割过程中Renyi熵产生的最小化。物理评论E71，046130（2005）
[14] Friedland S.，Hayman W.K.：球面上Dirichlet问题的特征值不等式和次调和函数的增长。注释。数学。Helvetici赫尔维提奇51、133–161（1976）·Zbl 0339.31003号 ·doi:10.1007/BF02568147
[15] Helffer B.，Hoffmann-Ostenhof M.，Hoffmann-Ostenhof T.，Owen M.P.：非简单连接域中零磁场薛定谔算符基态的节点集。公共数学。物理学。202(3), 629–649 (1999) ·Zbl 1042.81012号 ·doi:10.1007/s002200050599
[16] Helffer B.，Hoffmann-Ostenhof T.：节点域的逆谱问题。莫斯克。数学。J.7（1），67–84（2007）·Zbl 1125.35068号
[17] B.Helffer，T.Hoffmann-斯坦霍夫。关于谱最小分区：磁盘的情况。出现在CRM程序中·Zbl 1231.35011号
[18] B.Helffer，T.Hoffmann-斯坦霍夫。关于最小谱划分的两个概念。出现在高级数学中。科学应用。(2010). ·Zbl 1222.35067号
[19] Helffer B.，Hoffmann-Ostenhof T.，Terracini S.：节点域和谱最小划分。Ann.Inst.H.Poincaré（非林奈分析）26101–138（2009）·Zbl 1171.35083号 ·doi:10.1016/j.anihpc.2007.07.004
[20] B.Helffer、T.Hoffmann-Ostenhof、S.Terracini。关于谱最小分割：球面的情况。Laptev，A.（编辑），围绕V.Maz'ya III的研究，国际数学。第13辑（2010年），第153-178页·Zbl 1230.35072号
[21] B.Helffer、T.Hoffmann-Ostenhof、S.Terracini。关于3D中的最小谱划分。出现在L.Nirenberg的荣誉卷中，DCDS-a第28卷第2期（2010年）·Zbl 1230.35072号
[22] 雅各布森·D·、莱维丁·M·、纳迪拉什维利·N·、波特罗维奇·I·：混合Dirichlet-Neumann边界条件下的谱问题：等谱性及其以外。J.计算。申请。数学。194, 141–155 (2006) ·Zbl 1121.58027号 ·doi:10.1016/j.cam.2005.06.019
[23] M.Levitin、L.Parnovski、I.Polterovich。具有混合边界条件的等谱域arXiv.math。SP/0510505b22006年3月15日·Zbl 1089.58021号
[24] B.诺里斯和斯特拉奇尼。Aharonov-Bohm型磁性薛定谔算子的节点集和能量最小化分区。2009年预印本·Zbl 1219.35054号
[25] Pleijel A.：关于Courant节点定理的评论。纯通信。申请。数学。9, 543–550 (1956) ·Zbl 0070.32604号 ·doi:10.1002/cpa.3160090324
[26] O.Parzanchevski和R.Band。带边界条件的线性表示和等谱。arXiv:0806.1042v2[math.SP]，2008年6月7日·Zbl 1187.58032号
[27] Sunada T.：黎曼覆盖和等谱流形。数学年鉴。(2) 121(1), 169–186 (1985) ·Zbl 0585.58047号 ·doi:10.2307/1971195
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