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何塞·M·阿丽埃塔。;亚历山大·卡瓦略。;马可尼·C·佩雷拉。;里卡多·席尔瓦。

边界高度振荡的薄区域中的半线性抛物问题。 （英语） Zbl 1223.35038号

非线性分析。，理论方法应用。，序列号。A、 理论方法 74，第15号，5111-5132（2011）.
作者描述了半线性抛物方程（w_t^ varepsilon-Delta w^ varebsilon+w^ varepsilon=f（w^ valepsilon））在（0，+infty）乘以R^varepsillon）中解（w^varepsilon）的渐近性态，其中（R^varesilon）是薄2D域（（0,1）乘以（0，varepsilon g（x/varepsilo）），其中（g）是满足\（0<g_0\leq g（x）\leq g_1\）的\（C^1\）和\（L\）-周期函数。这里，（f）是一个具有有界导数且满足（limsup_{|s|\rightarrow\infty}f（s）/s<0）的（C^2）函数。将齐次Neumann边界条件添加到（部分R^varepsilon）上。
为了在更固定的域\（\Omega^\varepsilon=（0,1）\times（0，g（x_1/\varepsilon））\）中工作，作者执行变量\（x_1=x\），\（x_2=y/\varepsilon\）的改变。他们首先研究稳定关联和扩展问题\[-\frac{\partial^2u^\varepsilon}{\paratilx_1^2}-\frac{1}{\varepsilon^2}\frac}\partial ^2uu^{\varebsilon}}{\protialx_2^2}+V^\varebSilon u^\verepsilon=f^\varεsilon，\]其中，在L^ infty（Omega^ \varepsilon）中，存在独立于（x_2）的\（V^ \valepsilon\geq 1），这样，对于某些\（p>1）和其中\（Omega=（0,1）\次（0），g_1）\）。
本文的主要结果证明了（P^ varepsilon u^ varebsilon）在（H^1（Omega））的弱拓扑中收敛到（0,1）中问题的唯一解（u_0=u_0（x_1）），边界条件为（u_0'（0）=u_0}'1=0）。这里，（f_0）是在某种意义上的极限，而（P^varepsilon）是从（Omega^varepsilon）到（Omega）的线性延拓算子。
为了证明这个收敛结果，作者使用了一个辅助问题的解和扩张算子的性质。为了研究抛物问题解的渐近性，作者引入了函数和算子收敛的适当概念。他们推导出与稳定问题相关联的半群的收敛性。最后证明了半群的收敛速度和吸引子的上半连续性。他们还证明了这些吸引子的下半连续性，假设极限问题的解具有双曲性。
审核人：阿兰·布里拉德（里迪塞姆）

引用于55文件

MSC公司：

35B27型 PDE背景下的均质化；周期结构介质中的偏微分方程
35B41型 吸引器
35千58 半线性抛物方程
47H20个 非线性算子半群
35B40码 偏微分方程解的渐近行为
35K20码 二阶抛物型方程的初边值问题

关键词：

上半连续性;下半连续性;扩展运算符
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{J.M.Arrieta}等人，《非线性分析》。，理论方法应用。，序列号。A、 理论方法74，No.15，5111--5132（2011；Zbl 1223.35038）
全文： 内政部

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