乌尔里奇·格尔茨；托尔斯滕·威霍恩 代数几何I.方案。通过例子和练习。 （英语） 兹比尔1213.14001 数学高级讲座。威斯巴登：Vieweg+Teubner（ISBN 978-3-8348-0676-5/pbk）。vii，615页。(2010). 手边的这本书是对代数几何在现代背景下的深刻介绍的第一部分，即a.Grothendieck的革命性代数方案概念框架。在格罗森迪克用图式语言重建代数几何大约50年后的今天，这种方法被公认为是当前数学各个领域研究的基本基石和不可或缺的工具，包括几何、数论、复杂分析、理论物理、，以及它们的许多现代应用。正如作者在前言中指出的那样，本教材旨在系统全面地介绍图式理论的必要通用性，从而为读者提供一个坚实的背景，使其能够转向当代数学中代数几何及其相关领域的当前研究。实际上，已经有相当多的关于现代代数几何的优秀教科书解释了图式理论的一些基础知识，至少在合理的程度上如此。然而，大多数伟大的标准文本都有自己的特殊关注点，将图式作为一种适当的、适应得很好的语言用于解释的某些部分，并且仅在特定目的需要时才发展其一般理论。事实上，A.Grothendieck和J.Dieudonné的开创性巨著《代数几何的要素》（EGA I–IV）仍然是图式理论的唯一百科全书参考，但这本多卷、高度抽象的论文远不是适合该领域初学者的教科书。另一方面，本书实际上是作为一本介绍性的综合教材编写的，几乎专门用于图式理论，主要面向研究生，因此只假设抽象代数和拓扑学的基本知识是先决条件。此外，作者高度重视作为整个论述基础的精心设计的教学原则，并通过发展抽象的、概念上和技术上要求最高的方案理论，以非常系统、详细、激励、具体和说明的方式贯穿始终。关于内容，本卷包括十六章和五个补充附录。本书的导言一方面简要解释了经典代数几何和图式理论的主要关注点，另一方面为文本的使用提供了实用指南，包括对各章内容的一些直接评论。第一章首先讨论仿射代数簇、流行度和射影簇作为具有（代数）函数的空间，即作为历史前驱和与Grothendieck抽象代数方案相关的第一个重要示例。第2章介绍了环的谱、它的Zarisk拓扑、层理论的基础，最后将仿射方案作为局部环空间，形成局部建筑群，用于后续处理的一般方案。第三章介绍了本书的主要研究对象，即图式及其形态。方案和一般态射的基本性质、射影方案、与流行性相关的方案、子方案和方案浸入是本章讨论的主要主题。在第4章中，我们将更深入地研究方案的类别和方案所附的函子，重点是纤维乘积、基变换性质和同态纤维的结构。在此背景下，其他基本构造，如子模式的逆图像和图解交集、射影空间的形态和乘积、Segre嵌入和群模式，都将被沿途处理。在学习了图式理论的基础知识（如第2章至第4章所述）之后，整个主题的更高级部分从第5章开始，其中研究了一般地面场上的图式，包括场上有限类型图式的维数概念，并且作为迄今为止发展的一般理论的第一个应用，平面曲线的求交演算。第六章讨论格式的局部性质，特别强调代数切线空间、光滑态射、正则格式和正规格式。第7章描述了准相干模带轮、它们的基本性质以及这些对象的基本构造，而随后的第8章将进一步探讨方案理论中的函数观点。后一部分讨论一般的可表示函子，然后讨论方案的可表示态射、Zarisk带、函子的Zariski覆盖，以及两个重要的具体例子：Grassmannians和Brauer-Severi方案。第9章在第一部分中转向分离模式和分离态射的概念，而第二部分则致力于有理映射和模式的函数域这一重要主题，从而为双有理几何提供了第一步。第10章推广了域上局部有限型格式的概念和性质，分析了格式的任意态射的各种有限性条件、格式和拟相干带的可构造性以及环的归纳极限上格式的结构。本材料为方案的进一步一般研究提供了基本概念和技术，其基本参考是Grothendieck和Dieudonne在20世纪60年代的综合卷《EGA IV》。第11章讨论了代数几何中的另外两个中心主题，即方案上的向量丛和除数。这适用于一般方案（基于基本方案），特别强调局部自由滑轮、线束、卡地亚除数、威尔除数。皮卡德群、除数类群以及这些对象之间的关系。在此过程中，还简要讨论了有限型、torsor和非阿贝尔上同调的拟相干模的平坦分层。第12章研究的主要对象是仿射态射、有限态射和真态射。除了用于刻画仿射态射的Chevalley和Serres标准外，积分方案的规范化概念和Zarisk的主要定理也出现在本书这一节的焦点中。接下来，在第13章中，我们将更详细地研究射影格式，以及它们的不同的准相干模带及其嵌入射影空间的方法。这包括对充分和非常充分的线丛的讨论，对射影丛的浸入，线性系统，（准）射影态射，爆破的研究，Chow引理的一般版本，以及对奇点分解的展望。第14章描述了平坦态射，它们的重要几何性质，以及它们的各种特征，特别是平坦度的评价标准。在这种情况下，导出了从方案、拟相干模和扭子的忠实平坦下降原理获得的大量结果，以及对Brauer-Seviri变种的具体应用（如第8章所述）。接下来的部分将致力于量纲理论的精细处理，特别是关于平坦态射光纤的量纲变化，以及关于Cohen-Macaulay方案。本章最后简要介绍了希尔伯特方案作为参数化对象的思想。第15章将迄今为止发展的一般理论应用于重要的一维Noetherian格式，即绝对代数曲线及其除数，最后展望了曲线的Riemann-Roch定理。最后，第16章总结了几类重要的具体方案。这里给出的演示的一个特殊的教学特点是，这些示例与本书主体部分中理论的发展并行讨论，并分别参考了前面的相关章节。更准确地说，将行列式变种和方案、Clebsch三次曲面及其与特殊Hilbert模曲面的关系、循环群代数曲面的一些商以及Abelian变种用作示例来说明本书各章中开发的许多概念、方法和结果，这是一种非常生动和富有教育意义的方式。此外，本书末尾有五个附录。附录A回顾了范畴理论的一些基本概念和结果，而附录B提供了在正文中使用的交换代数的相关事实的集合。附录G包含了满足各种持久性原则的方案的态射的属性列表，附录D中概述了方案态射的不同属性之间的许多关系。最后，作者回顾了（并对其进行了部分改进）附录E中关于方案的可构造子集的几个定义和性质。一般来说，添加这些附录是为了方便读者，基本上是为了一方面使书尽可能完备，另一方面又增加了它的清晰度和作为参考书的实用性。本基础图式理论初级读本的另一个突出特点是贯穿全文的大量例证、补充说明和附带练习。事实上，每一章都以一组大约30个相关的、精心选择的工作问题作为结尾，这些问题的解决方案除了作为读者理解核心材料的一个非常有价值的试验场外，还为各自的主要文本提供了一些重要的丰富、完善和完成。最后，读者可以找到相关教科书的丰富参考书目、单个章节内容的详细列表、文本过程中使用的大量符号索引，以及书末的全面、几乎完整的主题索引。总而言之，正在审查的这本书对代数模式及其形态的基本理论提供了极好的介绍。在全面介绍高度抽象和技术要求极高的材料的同时，因此在其最广泛的适用性方面，作者始终努力使其即使是该领域的初学者也能访问。就其全面性、清晰性、深度、多功能性和教学理念而言，这本书在相关的教科书文献中是相当独特的，因此是对后者最有价值的补充。此外，作者还对格罗森迪克和迪乌登内的原始EGA卷进行了迄今为止最深刻的介绍，这无疑是他们整体工作的另一个收获。正如本书的标题所示，即将出版第二卷，重点是方案的上同调及其应用。值得怀疑的是，这两卷书将共同代表当代代数几何及其数学相关领域的另一个重要标准文本。审核人：沃纳·克莱因茨（柏林） 引用于三评论引用于164文件 MSC公司： 14-01 与代数几何有关的介绍性说明（教科书、教程论文等） 14甲15 模式和形态 14C20型 分配器、线性系统、可逆滑轮 14层05 滑轮、滑轮衍生类别等（MSC2010） 14升15 分组方案 2012年14月 决定性品种 14层30 关于品种或方案的小组行动（商） 14B05型 代数几何中的奇点 关键词：教科书（代数几何）；模式和态射；流行；准相干带轮；纤维丛；约数；代数曲线；决定簇；奇点 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{U.Görtz}和\textit{T.Wedhorn}，代数几何I.方案。通过示例和练习。威斯巴登：Vieweg+Teubner（2010；Zbl 1213.14001）