安德鲁·格兰维尔;Soundararajan，K。 大字符和：自命不凡的字符和Pólya-Vinogradov定理。 （英语） Zbl 1210.11090号 美国数学杂志。Soc公司。 20，第2期，357-384（2007）. 引言：已知的字符和的最佳界限由G.Pólya公司[1918年，21-29年（1918年；JFM 46.0265.02号)]和I.M.维诺格拉多夫[J.Soc.Phys.Math.Univ.Perm.2，1-14（1919；联合表格48.1352.04)]. 对于任何非主Dirichlet字符\（\chi\pmod q\），我们让\[M（\chi）：=\max_x\left|\sum_{n\leqx}\chi（n）\right|，\]然后Pólya-Vinogradov不等式显示\[M（\chi）\ll\sqrt q\log q\tag{1.1}\]除了隐式常数外，这个不等式没有其他改进。此外，人们认为（1）很难改进，因为有可能（虽然可能性很小）存在一个无限素数序列，其中（（{p\overq}）=1）代表所有（p<q^{varepsilon}），在这种情况下，（M（（{cdot\overq}））\gg_{varepsilon}\sqrtq\log q）。上面描述的不太可能的可能性涉及到二次字符，人们可以想象，有类似的可能性阻止了对高阶字符的改进（1.1）。令人惊讶的是，我们的一个主要结果表明，对于奇的、有界的字符，我们可以改进（1.1）。定理1。如果\（\chi\pmod q\）是奇数顺序的本原字符\（g\），则\[M（\chi）\ll_g\sqrt q（\log q）^{1-\frac{\delta_g}2+o（1）}，\]其中\（\delta_g=（1-\fracg{\pi}\sin\frac{\pi{g）\）。定理1的证明是基于一些技术结果，这些结果允许表征\（M（\chi）\）较大的字符\（\chi）。这种表征揭示了在具有较大\（M（\chi）\）的字符之间存在隐藏结构。1977年H.L.蒙哥马利和R.C.沃恩【发明数学43、69–82（1977；Zbl 0362.10036号)]如果广义黎曼假设是真的，那么\[M（\chi）\ll\sqrt q\log\log q\tag{1.2}\]考虑到R.E.A.C.佩利1932年的结果[J.Lond.Math.Soc.7，28-32（1932；Zbl 0003.34101号)]有无穷多个正整数\[M \左（\左（\frac{\cdot}{q}\右）\右）\geq\左（\frac{e^\gamma}{\pi}+o（1）\右\]其中，\（\gamma=0.5772\dots\）是Euler-Marcheroni常数。Paley的结果给出了一类细心构造的二次字符的大字符和，人们可能会问，对于每一个大素数（q），是否都有同样大的（M（chi））字符（chi\pmodq）。下一个结果表明，确实有许多这样的字符，而且可以将这些字符和指向任何给定的方向。定理3。设（q）是一个大素数，并给定（θin（-\pi，\pi]\）。有一个绝对常数\（C_0\），因此对于至少\（q^{1-C_0/（\log\log q）^2}\）个字符\（\chi\pmod q）和\（\ch（-1）=-1\），我们有\[\sum_{n\leqx}\chi（n）=e^{i\theta}\frac{e^\gamma}{\pi}\sqrt q\left（\log\log q+O\left）（（\log\ log q）^{1/2}\right）\ right）\]除（o（q）\）自然数\（x\leq q \）以外的所有数。从定理3的角度来看，可能会令人惊讶的是，定理1和定理2的类似物对小奇数阶字符给出了比（1.2）更尖锐的上界。定理4。假设GRH。如果\（\chi\pmod q\）是奇数顺序的本原字符\（g\），则\[M（\chi）\ll_g\sqrt q（\log\log q）^｛1-\frac｛\delta_g｝｛2｝+o（1）｝。\]在GRH上，我们可以证明存在奇数阶的任意大的\（q\）和原始字符\（\chi\pmod q\），使得\[M（\chi）\gg_g\sqrt q（\log\log q）^{1\delta_g-o（1）}。\]我们认为（1.4）中的指数（1-\delta_g=\fracg{\pi}\sin\frac{\pi{g\）是最可能的，定理4可以改进以达到这个界限。最后，作者使用了他们之前关于（L（1，chi））的界[Q.J.Math.53，No.3，265-284（2002；Zbl 1022.11041号)]得到一个定理的改进A.J.希尔德布兰德[J.数论29，第3期，271-296（1988；Zbl 0652.10029号)]关于Pólya-Vinogradov定理中的常数。审核人：奥拉夫·尼尼曼（柏林） 引用于4评论引用于62文件 MSC公司： 11层40 字符和的估计 关键词：大字符和;Pólya-Vinogradov定理 引文：JFM 46.0265.02号;JFM 48.1352.04型;Zbl 0362.10036号;Zbl 0003.34101号;Zbl 1022.11041号;Zbl 0652.10029号 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{A.Granville}和\textit{K.Soundararajan}，J.Am.数学。Soc.20，No.2，357--384（2007；Zbl 1210.11090） 全文： 内政部 arXiv公司 参考文献： [1] P.T.Bateman和S.Chowla，字符和的平均值，Proc。阿默尔。数学。Soc.1（1950），781–787·Zbl 0041.01904号 [2] D.A.Burgess，关于字符和-系列，程序。伦敦数学。Soc.（3）12（1962），193–206，https://doi.org/10.112/plms/s3-12.1.193D.A.Burgess，关于字符和-系列。二、 程序。伦敦数学。Soc.（3）13（1963），524-536·Zbl 0123.04404号 ·doi:10.1112/plms/s3-131.524 [3] S.Chowla，关于语料库的类号？（\sqrt-\？），程序。自然科学研究所。印度13（1947），197-200。 [4] 哈罗德·达文波特，《乘法数论》，第二版，《数学研究生文本》，第74卷，施普林格出版社，纽约-柏林，1980年。由休·L·蒙哥马利修订·Zbl 0453.10002号 [5] P.Deligne，《同系物故事》，《数学讲义》，第569卷，斯普林格·弗拉格出版社，纽约柏林，1977年。博伊斯马里阿尔盖布里克圣母院SGA 41 \ 2以上；Avec la collaboration de J.F.Boutot、A.Grothendieck、L.Illusie和J.L.Verdier。 [6] 安德鲁·格兰维尔（Andrew Granville）和K.Soundararajan，《大字符和》（Large character sums），J.Amer。数学。Soc.14（2001），第2期，365–397·Zbl 0983.11053号 [7] Andrew Granville和K.Soundararajan，乘法函数的谱，数学年鉴。（2） 153（2001），第2期，407–470·Zbl 1036.11042号 ·doi:10.2307/2661346 [8] A.Granville和K.Soundarrajan，\？的价值分布？（1，\？{\？}），几何。功能。分析。13（2003），第5期，992–1028·Zbl 1044.11080号 ·doi:10.1007/s00039-003-0438-3 [9] Andrew Granville和K.Soundararajan，|\？的上界？（1，\？）|，Q.J.数学。53（2002），第3期，265-284·Zbl 1022.11041号 ·doi:10.1093/qjmath/53.3.265 [10] 阿道夫·希尔德布兰德（Adolf Hildebrand），《特征和的大值》（Large values of character sums），《数论》29（1988），第3期，271–296·Zbl 0652.10029号 ·doi:10.1016/0022-314X（88）90106-0 [11] J.E.Littlewood，关于语料库的类号（P（sqrt{-k}）），Proc。伦敦数学。《社会学》第27卷（1928年），第358-372页。 [12] H.L.Montgomery和R.C.Vaughan，具有乘法系数的指数和，发明。数学。43（1977年），第1期，69–82·Zbl 0362.10036号 ·doi:10.1007/BF01390204 [13] R.E.A.C.Paley，字符定理，J.伦敦数学。《社会学》第7卷（1932年），第28-32页·Zbl 0003.34101号 [14] G.Pólya，Us ber die Verteilung der quadratischen Reste und Nichtreste，哥廷根·纳克莱什滕（1918），21-29。 [15] I.M.Vinogradov，《大学物理学报》。数学。Permi大学2（1919），1-14。 此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。