加布里埃拉·塔兰特罗 曲面上一类平均场方程的分析、几何和拓扑方面。 （英语） Zbl 1207.35148号 离散连续。动态。系统。 28，第3期，931-973（2010）。 作者考虑了这个问题\[\Delta_gu+\lambda\left（\frac{Ke^u}{\int_M Ke^u\，dv_g}-\frac}1}{|M|}\right）=4\pi\sum_{j=1}^N\beta_j\left\]在闭曲面\（M，g）\上，其中\（Delta_g）和\（dv_g）分别表示Laplace-Beltrami算子和相对于度量\（g），\（lambda>0）和\。通常，\（\delta_p\）表示\（（M，g）\）上的狄拉克分布，极点位于\（p\），并且\（|M|\）是\（M\）相对于\（g\）的表面积。作者描述了导致（*）的各种问题，首先是众所周知的尼伦堡问题，即在（mathbf{S}^2）上找到与标准度量共形的度量，并且具有高斯曲率（K），可以用（*）形式重新描述，所有（beta_j=0）和（lambda=8\pi）。如果在度量问题的保角变换中，我们允许保角类包含在\（M\）上引入圆锥型奇点的度量，则会出现一个更密切相关的问题，如M.特罗亚诺夫[《美国数学学会学报》第324期，第2期，第793–821页（1991年；Zbl 0724.53023号)]. 给定M中相对阶为（beta_1，dots，beta_N）的奇点（p_1，pots，p_N），在（mu=chi（M）+sum_{j=1}^N\beta_j>0）和（g）等于M上常曲率度量的情况下，考虑奇点处高斯曲率的Gauss-Bonnet定理的一个版本将导致（（*）。然而，作者的主要动机是将（*）与物理应用中自然出现的类涡结构联系起来，例如对周期性弱电涡流的研究。在这种情况下，问题简化为类似于\（*）\的耦合方程对的双周期解的存在性。一个关键的观察结果是，其中一个方程具有许多与（*）相同的分析特征。因此，任何产生\（（*）\）解的策略都对描述周期性电弱涡旋的系统有影响。根据（M，g）的拓扑和几何性质，作者讨论了（*）的大量最新结果，包括存在性、不存在性、唯一性和多重性结果。结果太多，技术性太强，无法在此描述。审核人：约翰·乌尔巴斯（堪培拉） 引用于45文件 MSC公司： 35J60型 非线性椭圆方程 53C21号 整体黎曼几何方法，包括PDE方法；曲率限制 58J05型 流形上的椭圆方程，一般理论 35J05型 拉普拉斯算子、亥姆霍兹方程（约化波动方程）、泊松方程 35J93型 具有平均曲率算子的拟线性椭圆方程 关键词：具有奇异源的Liouville型平均场方程;具有圆锥奇点的曲面;弱电涡流 引文：Zbl 0724.53023号 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit｛G.Tarantello｝，离散Contin。动态。系统。28，第3号，931--973（2010；Zbl 1207.35148） 全文： 内政部 OA许可证