托马斯·巴茨;王志强;米歇尔·威廉 超线性椭圆方程的Dirichlet问题。 （英语） Zbl 1207.35001号 Chipot，Michel（编辑）等人，《微分方程手册：定常偏微分方程》。第二卷。阿姆斯特丹：爱思唯尔/北荷兰（ISBN 0-444-52045-7/hbk）。微分方程手册，1-55（2005）。 引言：非线性椭圆型偏微分方程的边值问题几十年来一直是非线性分析的主要研究热点。在本调查中，我们讨论了半线性方程，如\[\开始{cases}-\Delta u+a（x）u=f（x，u），&x\in\Omega，\\u=0&\text{on}\partial\Omeca，\end{cases{\tag{1}\]其中，\（\Omega \）是\（\mathbb R^N\）、\（N\geq 2 \）中的域，并且\（f:\Omega\times\mathbb R \ to \mathbbR \）是超线性的，也就是说，\（f（x，t）/t\ to \infty \）as \（|t|\to\infty\）。模型非线性为齐次函数\[f（x，t）=|t|^{p-2}吨\quad\text{with}p>2。\标记{2}\]基于Leray-Shauder度的延拓方法或其他经典方法不容易应用于（1），因为解没有先验界。这是超线性非线性固有的。事实上，对于具有\（p>2\），\（p<2N/（N-2）\）if\（N\geq3\），\（a\inL^\infty（\Omega）\）和有界\（\Omega）a的模型非线性（2），在\（H^1\）范数中存在无限多个无界解。另一方面，如果\（Omega\neq\mathbb R^N\）是星形的，\（a（x）\equiv\text{const}\geq0\），\（f\）与\（p\geq2N/（N-2）\）、\（N\geq3\）一样，那么（1）除了平凡解\（u=0\）没有解。这里我们知道一个后验概率，即解是有界的，但由于缺乏紧性，Leray-Shauder方法不适用。关于整个系列，请参见[Zbl 1071.35002号]. 引用于77文件 MSC公司： 35-02 关于偏微分方程的研究综述（专著、调查文章） 35J65型 线性椭圆方程的非线性边值问题 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{T.Bartsch}等人，in：微分方程手册：定常偏微分方程。第二卷。阿姆斯特丹：爱思唯尔/北荷兰。1-55（2005；Zbl 1207.35001）