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西蒙·布伦德尔

Yamabe方程的放大现象。 （英语） Zbl 1206.53041号

美国数学杂志。Soc公司。 21，第4期，951-979（2008）.
风险管理。舍恩Pitman Monogr.Surv.Pure Appl.Math.52，311-320（1991；Zbl 0733.53021号)]证明了维数为（n\geq3\）的光滑紧致黎曼流形\（（M，g）\）上Yamabe PDE的解集对于\（C^｛2，\alpha｝）-拓扑是紧致的，除非\（M，g）\）保形等价于圆形球体，并证明了该猜想在局部保形平坦的情况下是正确的。本文作者给出了一个历史性的介绍，表明几个作者已经证明了这个猜想是正确的，但在某些附加条件下，例如低维，或假设正质量定理成立，或者假设Weyl张量或其导数无处消失。
在本文中，作者证明了在没有进一步附加条件的情况下，紧性猜想对于（n \geq 52）是不成立的。这是已知的关于足够低可微性的（mathbb{S}^n）上的非光滑度量，如M。巴尔提和答：。马尔基奥迪《功能分析杂志》，第180期，第1期，第210–241页（2001年；兹伯利0979.53038)]但作者证明了光滑情形的存在。
在主定理中，对于每一个（ngeq52），证明了在（mathbb{S}^n）上存在一个光滑的非形式平坦光滑度量（g），其中存在一个Yamabe PDE正解序列（v{nu}），Yamabe能量严格较小，并收敛到球的圆度量的Yamabe能，并且具有无界\（L^{infty}（\mathbb{S}^n）\）范数。证明包括在（mathbb{R}^n）上构造一个合适的度量（g=exp（h（x）依赖于\（nu\）的无迹对称2-张量。然后，对于每一个（nu），作者通过将这个问题简化为寻找函数临界点的问题，找到了度量为（g）、范数依赖于（nu的）的Yamabe PDE在（mathbb{R}^n）上的解（v{nu}）{F}（F）_{g} （\xi，\epsilon）\），\（\xi\in\mathbb{R}^n\），其中\（\epsilen>0\）是合适的扰动参数。他使用微扰参数通过取一些近似的辅助函数（F（xi，epsilon））来找到这样的临界点，对于这些辅助函数，他可以找到一个严格的局部极小值。
审核人：Isabel Salavesa（里斯本）

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数学溢出问题：

（非常）高维歧管

理学硕士：

53C21号 整体黎曼几何方法，包括PDE方法；曲率限制
第53页第44页 几何演化方程（平均曲率流、Ricci流等）（MSC2010）

关键词：

标量曲率;黎曼度量的保角变形，爆破分析;Yamabe方程

引文：

Zbl 0733.53021号;Zbl 0979.53038号
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{S.Brendle}，J.Am.数学。Soc.21，No.4，951--979（2008；Zbl 1206.53041）
全文： 内政部 arXiv公司

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