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夏洛特·哈杜因

迭代差分伽罗瓦理论。 （英语） Zbl 1203.12004年

J.Reine Angew。数学。 644, 101-144 (2010)。
在正特征中，通常的泰勒公式：（f（x+y）=\sum\frac{f^{（k）}（x）}{k！}y^k\）由于分母消失而失败。代数几何学家（如宫崎骏）通过用所谓的高阶导数，一组满足公理上相同定律的运算符。利用这些更高的推导，Matzat和van der Put成功地建立了正特征的微分伽罗瓦理论。
在复数上的（q）-差分方程的情况下，当（q）是单位根时，也会出现类似的困难。举个例子，\（q\）-交换变量\（x，y\）的二项式公式使得\（yx=qxy\）如下：\[（x+y）^n=\sum_{k=0}^n{n\choose k}_qx^{n-k}y^k，\]其中，我们依次定义了\（q\）-整数、\（q \）-阶乘和\（q _）-二项式系数：\[\left[n\right]_q:=\dfrac{q^n-1}{q-1}，\quad\left[n\right]_q:=\prod_{k=1}^n\left[n\right]_q，\quad{n\choose k}_q:=\frac{\left[n\right]！_q}{\left[k\right'！_q\ left[n-k\rift]！_q}\cdot\]（q\）-二项式定理是泰勒公式的（一个例子）的\（q\）-类似物，如下所示。一个通过以下公式定义\（q \）-派生运算符：\[\增量f（x）：=\dfrac{f（qx）-f（x）}{（q-1）x}\cdot\]然后发现：\[{n\choose k}_qx^{n-k}=\dfrac{\delta_q^k（x^n）}{\left[k\right]！_q}\cdot\]当然，如果（q）是统一的根，那么所有这些都没有意义，因为分母消失了。
在审查的论文中，作者以公理的方式定义了她所称的迭代（q）-差分算子在a（mathbb{C}（t））-代数上（在差分伽罗瓦理论中，使用差分环代替域是经典的必要条件）。她在此基础上建立了一个连贯而灵活的伽罗瓦理论，并将其用于具体的实质性例子，包括亨德里克斯的一些结果的新证明。最后，她将她的理论与Di Vizio之前研究的Grothendick-Katz猜想的（q）类比联系起来。
作者要求现在的评审员指出定义2.4中的一个遗漏：每个\（delta_R^{（k）}\）到\（mathbb{C}（t）\）的限制应该与定义2.8中出现的运算符\（delta _q^{-当（q）是单位根时，二项式运算符不能由除法直接定义。首先应该为（q）取一个不定项，然后证明定义实际上产生了一个多项式，最后将（q）专门化为一个数值。
审核人：雅克·索洛伊（图卢兹）

引用于1审查
引用于6文件

MSC公司：

12个H10 差分代数
2005年12月 微分代数
39甲13 差分方程，缩放（（q\）-差分）

关键词：

差分伽罗瓦理论;q微分方程;皮卡德-维斯奥特理论;高阶导数;格罗森迪克-卡茨猜想
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{C.Hardouin}，J.Reine Angew。数学。644、101--144（2010；Zbl 1203.12004）
全文： 内政部 arXiv公司

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此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。