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基里尔·齐沙卡。

实数的有界代数逼近。 （英语） Zbl 1200.11050号

J.数论 123，第2号，290-314（2007）.
Dirichlet证明了，对于任何实无理数（xi），存在无穷多个有理数（frac{p}{q}），使得（|xi-\frac{p}}{q{|<frac{1}{q^2}）。作者证明了一个结果，它改进了以往关于推广到代数次数逼近情形的所有估计。
设（mathbf A_n，；n>2）表示次数代数数的集合。设\（alpha\in\mathbf A_n\）和\（H（\alpha）\）的高度，即其最小多项式系数的最大绝对值。1961年，E.Wirsing公司[J.Reine Angew.数学.206，67–77（1961；兹比尔0097.03503)]假设对于任何实数（xi不在mathbf A_n中）和任何实数\[|\xi-\alpha|\ll H（\alpha）^{-n-1-\varepsilon}，\tag{1}\]其中，\（\ll\）表示Vinogradov符号，隐式常数仅取决于\（\xi，n\）和\（\varepsilon\）。稍后，W.M.施密特【丢番图近似。柏林等：斯普林格（1980；Zbl 0421.10019号)]推测了（1）中的最优指数（-n-1）。V.G.斯普林楚克[Izv.Akad.Nauk SSSR，Ser.Mat.29，379–436（1965年；Zbl 0156.05405号)]表明Wirsing的猜想对于几乎所有的实数都是成立的。在[loc.cit.]中，Wirsing证明了对于任何实数（xi不In mathbf A_n）都存在无穷多个代数数（alpha In mathbfA_n\[|\xi-\alpha|\ll H（\alpha）^{-C（n）}\]其中，（lim_{n\to\infty}（C（n）-n/2）=2）和隐式常量仅依赖于（xi）和（n）。1993年，V.I.Bernik和作者在[Dokl.Akad.Nauk Belarusi 37，No.5，9-11（1993；Zbl 0811.11048号)]对于任何实数，都存在无穷多个代数数，因此\[|\xi-\alpha|\ll H（\alpha）^{-B（n）}\]其中，（lim_{n\to\infty}（B（n）-n/2）=3）和隐式常数仅依赖于（xi）和（n）。
在本文中，作者改进了以下定理中关于（n>2）的实际情况的所有先前估计。
设（n）至少是一个整数。那么对于任何实数\（xi \ not \ in \ mathbf A_n\）都存在无穷多个代数数\（alpha \ in \mathbf A _n\），因此\[|\xi-\alpha|\ll H（\alpha）^{-A（n）}，\]其中\（A（n）\）是多项式的最大实数根\[\开始{split}T（x）=4x^5-（4n+18）x^4+（n^2+11n+30）x^3\\\]如果（n=3,4,5）和\[T（x）=2x^5-（n+12）x^4+（2n+30）x^3+（2n-41）x^2-（3n-29）x+2n-10\]如果\（n>5\）。隐式常量仅依赖于\（\xi\）和\（n\）。
此表给出了一个示例，用于比较\（C（n）、B（n）和\（A（n）\）的一些整数值\（n）。\[\开始{矩阵}n&C（n）&B（n）&A（n）\\3&3.28&3.5&3.73 \\4&3.82&4.12&4.45 \\5&4.35&4.71&5.14 \\10&6.92&7.47&8.06 \\100&51.99&52.92&53.84 \\结束{矩阵{\]
审核人：罗兰·奎梅（Brax）

引用于6文件

MSC公司：

11月17日 固定字段中的数字近似
11J04型 一个数的齐次逼近

关键词：

实数的代数逼近

引文：

兹比尔0097.03503;Zbl 0421.10019号;Zbl 0156.05405号;Zbl 0811.11048号
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{K.I.Tsishchanka}，J.数论123，第2期，290-314（2007；Zbl 1200.11050）
全文： 内政部

参考文献：

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