詹姆斯·科利安德（James E.Colliander）。;马库斯龙骨;吉利奥拉·斯塔夫拉尼;Hideo高冈;特伦斯·陶 立方离焦非线性薛定谔方程中能量向高频的传递。 （英语） Zbl 1197.35265号 发明。数学。 181，第1期，39-113（2010）. 作者处理了非线性薛定谔方程：（-i\partial_tu+\Deltau=|u|^2），（u（0，x）=u_0（x））\（x\in\mathbb｛T｝^2=\mathbb｛R｝^2/（2\pi\mathbb｛Z｝）^2），（环面）。薛定谔方程解（u）的两个守恒定律成立：\[E[u]（t）：=\int_{\mathbb{t}^2}（2^{-1}|\nablau|^2+4^{-1{|u|^4）\，dx（t）=E[u'（0）\]和\[\int_｛\mathbb｛T｝^2｝| u | ^2 \，dx（T）=\ int_｛\mathbb｛T｝^2｝| u | ^2 \，dx（0），\]对于所有\（t>0\）。索波列夫规范\[\|u（t）\|_{H^s（\mathbb{t}^2）}:=\Biggl（\sum_{n\in\mathbb{Z}^2}\langle n\rangle^s|\widehat u（t，n）|\Biggr）^{1/2}\]使用，其中\（langle n\rangle:=（1+|n|^2）^{1/2}\），和\[\widehat u（t，n）：=\int_{\mathbb{t}^2}u（t、x）\exp（-in\cdot x）\，dx。\]定理。设（s>1）、（K\gg 1）和（0<delta\ll 1）。薛定谔方程存在整体光滑解（u（t，x）），时间（t>0）与（u_0，{H^s}，leq\delta）和（u（t），{H_s}，geq-K）。也就是说，映射的（H^s）不稳定性，\[\inf_{delta>0}\Biggl（\limsup_{|t|\to\infty}\Bigl[\sup_{\|u_0\|H^s\leq\delta}\|u（t）\|_{H^s}\Bigr]\Biggr）=\infty，\]持有。证明中使用的参数为：（一）设（v（t，x）：=\exp（iGt）u（t，x）=\sum_{n\in\mathbb{Z}^2}a_n（t）\exp\{i（n\cdot x+|n|^2t）\}\）。然后\[-i\partial_t a_n=Ga_n+\sum_{n1-n2-n}a{n1}上横线a{n3}\exp\{i\omega_4t\}，\]其中\（ω_1=|n_1|^2-|n_2|^2+|n_3|^2-| n|^2 \）。（二）通过选择\（G=-2\|u（t）\|_{L^2（\mathbb{t}^2）}\），\[-i\partial_t a_n=-a_n|a_n|^2+\sum_{n1，n2，n3\in\Gamma（n）}a_{n1}\上划线a_{N2}a_}n3}\exp（i\omega_4t），\tag{FNLS}\]导出了（γ（n）={（n1，n2，n3）in（mathbb{Z}^2）^3:n1-n2+n3=n），（n1\neqn）。（三）通过在Gamma（n）：omega_4=0}中使用（Gamma_{text{res}}，（n）={（n1，n2，n3），作者给出了FNLS的共振截断，并使用了与频率集有关的参数：（Lambda\subset\mathbb{Z}^2）。审核人：山形秀夫（大阪） 引用于5评论引用于133文件 MSC公司： 55年第35季度 NLS方程（非线性薛定谔方程） 35B35型 PDE环境下的稳定性 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{J.E.Colliander}等人，发明。数学。181，第1号，39-113（2010；Zbl 1197.35265） 全文： 内政部 arXiv公司 OA许可证 参考文献： [1] Alekseev，V.：天体力学中的准随机振荡和定性问题（第九数学暑期学校，Kaciveli，1971）。美国数学。社会事务处理。序列号。2 116, 97–169 (1981) ·Zbl 0502.70016号 [2] Arnold，V.I.：多自由度动力系统的不稳定性。多克。阿卡德。Nauk SSSR 156，9–12（1964）（俄语） [3] Bambusi，D.：非线性薛定谔方程小振幅解的Nekhoroshev定理。数学。Z.230（2），345–387（1999）·Zbl 0928.35160号 ·doi:10.1007/PL00004696 [4] 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