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因德拉尼尔·比斯瓦斯;约翰内斯·赫斯曼;雅克·赫图比斯

实代数曲线上稳定向量丛的模空间。 （英语） Zbl 1195.14048号

数学。安。 347，第1期，201-233（2010）.
半个多世纪以来，人们对复射影代数曲线（或紧黎曼曲面）上向量丛的模空间进行了广泛的研究。然而，实代数曲线的相应问题却很少受到关注。本文的目的是为实代数曲线上的向量丛理论奠定一些基础，将向量丛的稳定性与与基本群有关的某个群的表示理论联系起来，并本着M.F.Atiyah先生和R.博特【《哲学Trans.R.Soc.Lond.》，A 308，523–615（1983年；Zbl 0509.14014号)]，相应模空间的拓扑。
这里采用的观点是，实代数曲线是一个紧Riemann曲面（X），它具有反全纯对合（sigma）；我们为（sigma）的不动点集写（X（{mathbb R}））。这样的曲线有三种类型：（X（{mathbb R}）=\emptyset\）（类型0），（X（}mathbb R}）\neq\emptystet\）和（X\setminus X（{mathbb R{）\）未连接（类型I）和（X（[{mathbbR}，neq\emttyset\；不同类型有不同的细胞结构。接下来，设（E）是秩为（n）的（X）上的全纯向量丛，它具有反全纯同构（广义同构{\σ}:E\到E\），这在纤维上是反线性的。如果\（\widetilde{\sigma}^2=Id_E\）（resp.\（-Id_E_\））（定义3.3），则该对\（E，\widetelde{\sigma}）将被称为\（X）上的实（对应四元数）向量束。这些束可以使用经典技术进行拓扑分类。如果（X）是I型或II型，则实束由（X）的组件（X）上的第一个Stiefel-Whitney类（w_1（E_{I，{mathbb R}）和（E）的第一个Chern类（c_1（E I，{mathbb R}}）（命题4.1）。如果\（X\）是0类型，则只需要\（c_1（E）\），它必须是偶数（命题4.2）。对于四元数丛，同样只需要（c_1（E）），它必须满足（k+n（g-1）等于0\bmod2）（命题4.3）。这些不变量满足所述限制的所有值都会出现。
下一步是考虑基本群、它的酉表示和平丛。对于类型0，可以取光滑空间的通常基本群（X/\sigma）；然而，对于其他类型，如果（σ）的作用有不动点，则必须取orbifold基本群（也称为（X，σ）等变基本群）。用\（\Gamma\）表示相关的基本群，在所有情况下都有一个精确的序列\（0\ to \pi_1（X）\ to \Gamma\to{\mathbb Z}/2\ to 0\）。作者在第5节中给出了（Gamma）的显式表示，并定义了（Gamma）的实和四元数幺正表示（这种表示的目标是幺正群（{mathbb U}_n）和Galois群（{mathbb C}/{mathbbR}）的自然半直积（当然它与（{mathbb Z}同构/2\))). 然后，可以将表示的等价类（实数或四元数）与（实或四元）酉平坦向量束的同构类识别出来（定理5.2）。在复杂的情况下，可以通过使用中心扩展（0到{mathbb Z}到Gamma’到Gamma0）将其扩展到非平面束。
作者现在介绍了实连接和四元数连接，并获得了M.S.Narasimhan先生和C.S.塞沙德里[数学年鉴（2）82540-567（1965；Zbl 0171.04803号)]（定理6.1），说明秩为（n）且（c_1（E）=k）的半稳定实（四元数）丛的模空间与映射中心生成器到（exp（pi-ik/n）的实（四元数）幺正表示的等价类空间不同。由此，可以利用规范群对适当连接空间的作用来讨论模空间的拓扑（如Atiyah和Bott的论文中所述）。作者首先计算了在可变和固定行列式情况下，每种类型的实数或四元数表示的分类空间的第一和第二同伦群。然后，他们证明了对于每个允许的拓扑类型，存在实和四元数半稳定丛的连通模空间（定理6.6），并计算了这些模空间的第一和第二同伦群（定理6.7）。
审核人：P.E.Newstead（利物浦）

引用于三评论
引用于33文件

MSC公司：

14小时60分 曲线上的向量丛及其模
14第25页 实代数簇的拓扑

关键词：

模量空间;稳定束;实代数曲线;基本群;统一表示;连接

引文：

Zbl 0509.14014号;Zbl 0171.04803号
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\textit{I.Biswas}等人，数学。Ann.347，No.1，201--233（2010；Zbl 1195.14048）
全文： 内政部 arXiv公司

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