马可·马内蒂 微分分次李代数和形式变形理论。 （英语） 兹比尔1190.14007 Abramovich，D.（编辑）等人，《代数几何》，西雅图，2005年。《2005年夏季研究所学报》，西雅图，华盛顿州，美国，2005年7月25日至8月12日。普罗维登斯，RI：美国数学学会（AMS）（ISBN 978-0-8218-4703-9/hbk；978-0-82 18-4057-3/set）。纯数学专题讨论会论文集。80，第2部分，785-810（2009年）。 本文有两个目的：（1）教程介绍微分分次李代数、Artin环的函子和障碍物；（2） 解释一些关于复杂Kähler流形变形障碍消失定理的最新论文的基本思想和技术。作者遵循Quillen、Deligne和Drinfeld提出的指导原则，即在特征（0）中，每个变形问题都由微分分级李代数控制。本文将这一原理及其方法应用于证明阻塞空间的消失定理。第一个例子是具有全纯切线丛（Theta_X）的紧致复流形（X）的变形，其中障碍空间可以使用无穷小方法完全计算，即对脂肪点上（X）变形的深入研究，以及障碍理论。可以证明存在一个定义良好的向量子空间（O\子集H^2（X，Theta_X）），它对于提升特定全纯映射的性质是最小的。作者声称，本文包含了微分分次李代数如何方便地用于构造向量空间（H^2（X，Theta_X）\rightarrow W）的非平凡态射，使得（W（O）=0）。作者首先给出了微分分次李代数（DGLA）的精确定义，特别注意到DGLA（L）的括号在上同调（H^ast（L）=bigoplus_iH^i（L）上诱导了分次李代数的结构从向量空间（（V，上划线{部分}）的复数提升到同构的一般思想出发，条件（上划线{partial}\circ\上划线{偏}=0）转化为（d\xi+frac12[xi，xi]=0，），提升的等价性转化为（xi^素数=\xi+sum{n=0}^infty\frac{[a，-]^n}{（n+1）！}（[a，\xi]-da）。\）因此，对于DGLA（L），作者定义了与L^1\otimes\mathfrak m_a|dx+\frac12[x，x]=0\}给出的\（L）相关联的Maurer-Cartan函子\（MC_L:\mathbf{Art}\rightarrow\mathbf{Set}\）条件中的方程称为Maurer-Cartan方程。上面的等价关系给出了一个对应的作用，即解空间上的等变作用，称为规范作用。然后作者定义了函子\（\text{定义}_L：\mathbf{Art}\rightarrow\mathbf{Set}\）作者\[\文本{定义}_L（A） =\frac{MC_L（A）}{\text{规范等效}}。\]因此，在这种情况下，复形（（V，上划线部分）的无穷小变形函子同构于{定义}_L\)，其中（L）是微分分次李代数作者回顾了以下定理，有时也称为变形理论的基本定理：设（f:L\rightarrow M\）是DGLA的一个态射。然后\（f\）诱导函子\（\text）的自然变换{定义}_L\向右箭头\text{定义}_M。\)此外，如果：(1)\（f:H^0（L）\右箭头H^0（M）\）是满射的；(2)\（f:H^1（L）\rightarrow H ^1（M）\）是双射的；(3)\（f:H^2（L）\rightarrow H ^2（M）\）是内射的；然后\（\text｛定义｝_L\向右箭头\text{定义}_M\)是一种同构。现在，指导原则可以表述如下：设\（F:mathbf{Art}\rightarrow\mathbf}Set}\）是在\（mathbb{K}\）上定义的某个代数几何对象的无穷小变形的函子。然后存在一个微分分次李代数，定义为拟同构，如（F\simeq\text{定义}_L。\)其主要思想是将有障碍物的变形情况转换为无障碍物的另一变形情况。局部自由带轮、复杂流形和嵌入流形的（变形）示例说明了这一点。总之，本文很好地介绍了变形理论，并包含了许多漂亮而明确的例子。这是进行变形理论的一种非常聪明的方法，并对该领域许多其他作者使用的技术进行了系统的阐述。关于整个系列，请参见[Zbl 1158.14004号].审核人：Arvid Siqveland（孔斯堡） 引用于1审查引用于35文件 MSC公司： 14年22日 非交换代数几何 关键词：微分分次李代数;DGLA公司;无穷小变形;变形理论基本定理;Maurer-Cartan方程;仪表动作 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{M.Manetti}，摘自：代数几何，西雅图，2005年。2005年夏季研究所学报，西雅图，华盛顿州，美国，2005年7月25日至8月12日。普罗维登斯，RI：美国数学学会（AMS）。785--810（2009年；Zbl 1190.14007） 全文： arXiv公司