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马克·莱文;法比安·莫雷尔

代数协同论。 （英语） Zbl 1188.14015号

施普林格数学专著柏林：施普林格出版社（ISBN 978-3-540-36822-9/hbk；978-3-440-36824-3/电子书）。xii，第244页。(2007).
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这本书包含了作者在一系列预印本中发展起来的代数配基理论。在拓扑学中，可微流形的协边性定义为D.奎伦[比照高级数学7、29–56（1971；Zbl 0214.50502号)]. 将定向上同调的关键概念推广到（S）上有限型分离格式范畴的“可容许”子范畴（{mathcal V}）。特别地，\（\mathcal V\）包含\（Sm_｛S｝\）上光滑和拟投影方案的完整子类。（S）有向上同调理论由一个加性函子组成：\（A^｛*｝：｛\mathcal V｝^｛opp｝\rightarrow｛\mathbf｛R｝｝^｛*｝\），其中\（｛\mathbf｛R｝｝^｛*｝\）表示单位满足以下性质的交换分次环的范畴：
（1） 相对余维\（d）的\（mathcal V）中的每个投射态射\（f:Y\rightarrow X）诱导了分次\（a^{*}（X）\）模的同态：\[f_{*}:A^{*}（Y）\右箭头A^{+d}（X）\]环同态\（f^{*}:A^{*{（X）\右箭头A^{**}（Y）\）在\
（2） 对于｛\mathcal V｝中的任何\（X\），都有\（（｛Id_｛X｝｝）_｛*｝=Id_｛A^｛*｝（X）｝。）分别给定相对余维\（d\）和\（e\）的投射态射\[（{f\circg}）{*}={f}_{*}{\circ}{克}_{*}:A^{*}（Z）\右箭头A^{+d+e}（X）。\]
（3） 设\（f:X\右箭头Z，\）\（g:Y\右箭头Z\）为\（\mathcal V\）中的横向态射。考虑笛卡尔平方：\[\开始{tikzcd}W\rar[“g^\prime”]\dar[“f^\price”']&X\dar/“f”]\\Y\rar/“g”']＆Z\end{tikz cd}\]如果（f）是相对维数（d）的投影，那么（f'\）和（g^{*}f_{*}={f'}_{*{g'}^{*{}）也是投影。
（4） 设（E\rightarrow X）是（mathcal V）中（X\）上的秩向量丛，（O（1）\rightarrow{\mathbb P}（E）\）具有零段的正则商线丛（s:{\mathbb P}（E）\right arrow O（1。定义A^｛1｝（｛\mathbb P｝（E））中的\（｛\xi｝：=s^｛*｝（s_｛*｝（1））。\）那么，\（A^{*}（{mathbbP}（E））\）是一个自由\（A_{*}（X）\）-模，具有基\（（1，xi，dots，{xi}^{n-1}）\）。
设\（E\右箭头X\）是\（mathcal V\）中\（X\）上的向量丛，设\（p:V\右箭头X \）是（E\）-torsor。那么\（p^{*}:A^{*{（X）\右箭头A^{**}（V）\）是同构。
（mathcal V）上定向上同调理论的态射是函子与映射交换的自然变换
专门化为\（S=\mathrm{Spec}k\）和\（{\mathcal V}=\mathr后{小}_{k} 可以使用Grothendieck的构造来定义秩为（n）超过（X）的向量丛（E右箭头X）的Chern类（c_{i}（E））。等式\（c_{1}（L\otimes M）=c_{1'（L）+c_{1\\[c_{1}（L\otimes M）=F_{A}（c_{1}（L），c_{1'（M））\]哪里\[F{A}（u，v）=\sum_{i，j}A{i，j}u^{i} v（v）^{j} 在A^{*}（k）{[[}u，v{]]}中\]是秩为（1）的可交换形式群律。存在一个秩为（1）的普适交换形式群律，即（（{mathbb L}，F{mathbbL}），其中（{mathbb L}\）是Lazard环[cf。M.拉扎德，公牛。社会数学。Fr.83，251-274（1955年；Zbl 0068.25703号)]. 定向上同调理论的例子包括Grothendieck函子和Chow环（CH^{*}（X））。这里，（K^{0}（X）是（X）上局部自由相干带的Grothendieck群。设\（K^{0}（X）[{\beta}，{\beta}^{-1}]：=K^{0:。丛的张量积导出了乘法形式群定律（F{m}（u，v）=u+v-{beta}-uv）。对于Chow环，相应的形式群是可加的\（F_｛a｝（u，v）=u+v.\）。作者在\（Sm_｛k｝\）上构造了一个泛上同调\（｛\Omega｝^｛*｝\），称为代数共基数。为此，他们证明了奎伦拓扑复数配基定理的精确相似性。最重要的是，将（F{Omega}）分类的同态是同构。作为应用，作者得到了作为代数余基的广义度公式的Rost度公式
审核人：彼得·克拉索恩（什切青）

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理学硕士：

14层43 其他代数几何（co）同调（例如，交集、等变、劳森、Deligne（co）同源）
14C15号 （等变）Chow群和环；动机
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55N22号 代数拓扑中的Bordism和cobordism理论及形式群定律

关键词：

代数共基数;定向上同调理论;形式群法;Lazard环;度公式

引文：

Zbl 0214.50502号;Zbl 0068.25703号
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\textit{M.莱文}和\textit{F.莫雷尔}，代数协同论。柏林：施普林格（2007年；Zbl 1188.14015）
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