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弗雷姆林，D.H。

测量理论。第2卷。广泛的基础。修正了2001年原件的第二次印刷。 （英语） Zbl 1165.28001号

科尔切斯特：托雷斯·弗莱姆林（ISBN 0-9538129-2-8/pbk）。第563页。，第12页。（勘误表）。(2003).
引言中的一句话最能说明作者与论文《计量理论》第二卷（题为“广泛基础”）相关的意图：在第二卷中，我选择了七个主题来探讨计量理论提供的见解和挑战。有些定理，如Radon-Nikodm定理（第23章），对于理解主体的结构是必要的；其他的，如傅里叶分析（第28章）和函数空间的讨论（第24章）证明了测度理论在一般实分析和泛函分析中解决问题的能力。在写“七个主题”时，作者省略了第一部分：21。测度空间的分类学：因为“它是最纯粹的测度理论”。
第21章第一节列出了区分不同类型测度空间的定义。在接下来的几节中，作者简要介绍了第一节中描述的一些测度空间的理论。第214部分与子空间相连，这导致了“在子集上的积分”。在本章的最后一节，作者给出了一些示例，这些示例可以建立各种度量空间之间的关系。第二章（标记数字22）的起点是（mathbb{R}）中的维塔利定理。本章第二节的主要目的是与不定积分微分有关的定理222E。接下来，作者继续研究勒贝格密度定理：首先是积分形式（也适用于复值函数）和导致密度拓扑的形式练习。本章最后三部分包含关于有界变差函数和绝对连续函数的最重要的陈述（作为结果应用的一个例子：分部积分定理、下半连续函数定理和有界变分函数的勒贝格分解）.
第23章专门讨论Radon-Nikodm定理。本章第一节介绍了基本工具：可数加性泛函及其分解。主要定理包含在第二段（标记为数字232）中，最后考虑了可数可加泛函的勒贝格分解。在下一部分中，作者给出了Radon-Nikodým定理的一些应用，该定理提供了“条件期望”的概念。接下来的章节将讨论以下问题：测度空间上非负可测函数的不定积分测度；替代积分的一般方法；反测度保持函数。
在第24章中，作者讨论了函数空间（L^{0}）、（L^}p}）和（L^[2]infty}）。在这一领域中，更详细地分析了以下问题：Riesz空间，空间（L^{1}）（（L^}的范数），（L^{1}\）的稠密子空间；\（L^{p}\）的范数；测度收敛；点态收敛；嵌入\（L^{p}\）到\（L_^{0}\）中；一致可积性；（L^{1}）中的紧性。在第246Y段（“进一步练习”）中，包含了维塔利-哈恩-萨克斯定理）。
在第25章中，作者考虑了乘积测度：两个（有限）乘积（§251）和任意多个概率空间的乘积（条款254）。在§252中，作者给出了Fubini和Tonneli定理以及一些推论。本章的其他部分与主题相关：函数和测度的卷积；氡测量（绝对连续氡测量）。
第26章（题为“积分中变量的变化”）的出发点是《（mathbb{R}^{R}）》中的维塔利定理，它允许为密度定理（《（mathbb{R{R}^{R}》）制定积分形式（关于密度拓扑的基本信息，请参阅第261Y节：“进一步练习”）。接下来的两段专门讨论以下主题：Lipschitz和可微函数（使用Rademacher定理）以及\（mathbb{R}^{R}\）中的可微函数。在§264中，作者给出了欧氏空间中Hausdorff维测度的定义和基本性质。
第27章题为“概率论”的第一段与概率分布有关，而第二段则专门讨论事件、（sigma）代数和随机变量的（随机）独立性。本章最重要的结果包含在题为“强大数定律”和“中心极限定理”的段落中（本节包含林德伯格定理）。本章完成了关于鞅的考虑。
第28章（标题为“傅里叶分析”）分为三部分：傅里叶级数、傅里叶变换和氡概率测度的特征函数。这里应该提到的是，所有这些考虑之前都有一段以各种形式与Stone-Weierstrass定理（关于连续函数的近似）相关的内容。本卷以附录结尾，其中包含与本卷中介绍的某些主题相关的一些信息。在本文的这一部分中，作者给出了与集合论（有序集）、欧氏空间的一般拓扑和拓扑、赋范空间、线性拓扑空间和矩阵因式分解有关的一些事实。这篇论文的每一部分都以“基本练习”、“进一步练习”和“注释和评论”结尾。
审核人：Ryszard Pawlak（罗兹）

引用于三评论
引用于136文件

MSC公司：

28-01 与测量和集成有关的介绍性阐述（教科书、辅导论文等）
26-01 与实际函数相关的介绍性说明（教科书、教程文件等）
46-01 与函数分析相关的介绍性说明（教科书、教程论文等）

关键词：

测量;概率测度;概率空间;\（sigma）-有限测度;勒贝格测度;有符号度量;氡测量;豪斯道夫测量;集成;完整的;不定积分;上积分;按部件集成;一致可积集;维塔利定理;复值函数;密度定理;有界变差;绝对连续函数;半连续函数;勒贝格分解;约旦分解;可数加法泛函;Radon-Nikodm定理;凸函数;简森不等式;逆测度保持函数;\（L^{p}\）-空格;\（L^{\infty}\）-空格;Riesz空间;测度收敛;逐点收敛;产品测量;富比米定理;托内利定理;双线性映射;Lipschitz函数;康托函数;拉德马赫定理;分布;强大的大数定律;中心极限定理;鞅;Stone-Weierstrass定理;韦尔等分布定理;福里埃级数;傅里叶变换;氡概率测度的特征函数;Carleson定理
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\textit{D.H.Fremlin}，测量理论。第2卷。广泛的基础。修正了2001年原件的第二次印刷。科尔切斯特：托雷斯·弗莱姆林（2003；Zbl 1165.28001）