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A.盖苏尔。;赵，Y。

刚性二次等时向量场的临界周期分岔。 （英语） Zbl 1160.34035号

牛市。科学。数学。 132，第4号，292-312（2008）.
本文研究了平面自治微分系统在单参数解析摄动下，从等时中心的周期环上可以分出的最大临界周期数。我们记得，临界周期是周期函数导数的孤立零点。从极坐标系中扰动系统的表达式出发，导出了研究周期函数的一些公式。这些公式用于研究可从二次刚性等时中心分叉的最大临界周期数。
设（X_0）是在（p）处具有等时中心的平面自治向量场，设（X_epsilon）是保持（p）为中心的单参数解析摄动。围绕（X_\epsilon）的周期轨道的周期可以写成\[T（\xi，\epsilon）=T_0+\sum_{l\geq1}T_l（\ xi）\epsilen^l，\]其中，（xi）是实数区间中这些周期轨道的参数化（mathcal{I}）。假设\（T_1（\xi）\equiv T_2。如本文所定义的，当（xi-in-mathcal{I}）的方程（T_l'（xi）=0）正好有（k\）个零点时，所有这些零点都很简单，对于与（X_0）对应的系统，从等时中心的周期轨道到（epsilon）的高达（l\）阶的系统，称（k\。
作者采用极坐标变换写出扰动系统，并假设属于未扰动系统原点的周期环的周期轨道，不切出零角速度曲线。本文的第一个结果，命题A，给出了在极坐标设置下函数（T_l（xi））的一些显式公式。尽管这些公式可以针对指数（l）的任何值生成，但随着指数的增长，其表达式的编写和计算变得更加复杂。因此，只有\（T_0）、\（T_1（\xi）\）和\（T_2（\ xi））的表达式被显式写入。假设未扰动系统是刚性的，简化了这些公式，如推论B所述，因此本文的其余部分专门讨论刚性系统。我们记得，当等时性中心的角速度恒定时，称其为刚性中心，因此可以将其归一化为（1）。
注意刚性二次系统\[\dot｛x｝=-y+xy，\ quad\ dot｛y｝=x+y^2。\]当研究从该等时中心的周期轨道分叉的最大临界周期数时，可以考虑扰动项的两个方面：因变量（x，y）中扰动系统的程度（当考虑多项式扰动时）或扰动参数中的顺序\（\epsilon\）。本文中的定理C建立了在二次系统族内部扰动下的一些结果，其阶数可达\（\ε\）。另一方面，定理D给出了在任何程度的多项式扰动下（ε）中一阶临界周期数的上界。这些结果的证明是基于命题A和推论B中描述的公式。定理C的证明中给出了一个显著的性质，见命题3.7，它表明，对于刚性二次系统的特定二次扰动，表达式\（T_l（\xi）\），条件是\（T_1（\xi）\equival T_2（\xi）equiv\cdots\equivT_{l-1}（\xi）\equiv0）仅取决于相应阶的扰动项的系数。此外，\（T_l（\xi）\）的表达式是相同的，但参数的顺序是相应的\（\epsilon^l）。因此，临界点的最大数目\（T_l（\xi）\）与\（l）无关。
定理C中给出的结果加强了Chicone的猜想[C.Chicone公司，在MR审查MR 94h:58072，共W.A.科佩尔和L.加夫里洛夫，不同。积分Equ。第6卷，第6期，1357–1365页（1993年；Zbl 0780.34023号)]二次等时线临界周期的分岔图。分岔图在P.Mardešić，D.Marín和J.维拉德普拉特【J.Differ.方程式224，No.1，120–171（2006；Zbl 1092.34020号)]. 特别是，定理C意味着在参数空间中的任何解析曲线上，由\（\ε\）参数化，至多有一个临界周期从未扰动刚性等时二次中心的周期轨道分叉。
审核人：Maite Grau（莱伊达）

引用于18文件

理学硕士：

34C23型 常微分方程的分岔理论
34立方厘米05 积分曲线、奇点、常微分方程极限环的拓扑结构
34C07（二氧化碳） 常微分方程多项式和解析向量场的极限环理论（存在性、唯一性、界、希尔伯特第十六问题及其分支）

关键词：

关键时期;等时中心;周期函数;分岔

引文：

Zbl 0780.34023号;Zbl 1092.34020号
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{A.Gasull}和\textit{Y.Zhao}，公牛。科学。数学。132，第4号，292--312（2008；Zbl 1160.34035）
全文： 内政部

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