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E.N.舞者。

超临界问题的有限莫尔斯指数解。 （英语） Zbl 1158.35013号

J.Reine Angew。数学。 620, 213-233 (2008).
作者研究了有界解的性质\[-\增量u=f（u）\qquad\text{on}\mathbb{R}^N\]具有有限莫尔斯指数的谱，在这个意义上，（L^2（mathbb{R}^N）中的（-\Delta-f'（u））的谱只有有限个负点，每个负点都具有有限的代数重数。显然，只考虑了（N\geq2）。如果\（N=2\），则表示\（p^*：=\ infty \），如果\（N \ geq3 \），表示\（p ^*：=\（N+2）/（N-2。主要的兴趣在于，（f）在\（\ infty \）处超临界增长，即\（|f（t）|/|t|^{p^*}\to\ infty\）为\（|t|\to\infty）。
第一个结果表明，对于\（p^*<p\leqp^f\）和\（f（t）：=|t|^{p-1}吨\)唯一有界有限Morse指数解是（u\equiv0）。对于半空间或外部区域上具有齐次Dirichlet边界条件的方程，也证明了类似的结果。在某些情况下，也允许使用\（p=p^*\）。
在第二个结果中，假设存在有界、非恒定的有限Morse指数解，并得出关于u的形状和f的性质的结论。更具体地说，假设\（f\在C^1中），\（f\geq0\）on \（[\inf u，\sup u]\），并且\（f \）在其零点附近表现为幂函数。则\（u\）相对于某个点是径向对称的，并且在\（infty\）处渐近不变。此外，还证明了对\（f）的零点和\（u）的值之间相互作用的一些限制。
作为一个应用，作者证明了超临界问题的Bahri-Lions型结果：对于有界域上的Dirichlet问题，解的有界性等价于Morse指数的有界。其他应用包括有界星形区域上实解析Dirichlet问题正解分支上无穷多分歧点的存在性，以及关于Dirichle问题的区域变分的一些结果。
审核人：尼尔·阿克曼（墨西哥）

引用于25文件

MSC公司：

35B35型 PDE环境下的稳定性
35B40码 偏微分方程解的渐近性态
35B45码 偏微分方程背景下的先验估计
35秒25 偏微分方程背景下的奇异摄动
35J60型 非线性椭圆方程
47J30型 涉及非线性算子的变分方法
35J65型 线性椭圆方程的非线性边值问题

关键词：

莫尔斯指数;有界解;超临界非线性
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{E.N.Dancer}，J.Reine Angew。数学。620213-233（2008年；Zbl 1158.35013）
全文： 内政部

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