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理查德·凯尼恩;安德烈·奥孔科夫

极限形状和复杂的伯格方程。 （英语） Zbl 1156.14029号

数学学报。 199，第263-302号（2007年）。
二元模型是定义在周期边加权平面二部图上的统计模型。二聚体构型是一种完美的匹配，即一组边，使得每个顶点正好与一条边相关联。另一种描述是通过高度函数，在一组面上定义，并由匹配唯一确定，直到添加常数。对于与平面平铺相关的二聚体构型，高度函数是识别区域平铺性的众所周知的工具。
本文讨论具有规定边界条件的高度函数的极限形状。最有趣的现象是小面的形成，这是晶体表面的典型现象。在同一作者以前的作品中[与S.Sheffield，Ann.Math.（2）163，No.3，1019–1056（2006；Zbl 1154.82007年)；杜克大学数学。J.131，第3期，499–524（2006年；Zbl 1100.14047号)]，引入了给定周期边加权平面二分图的谱曲线（P（z，w）=0），并证明其具有Harnack极大性。此外，还对二聚体模型的冻结/液/气相进行了基本分类。最后，证明了高度函数的极限形状（h）可以最小化泛函（int\sigma（nabla h（x，y）），dx，dy），其中“表面张力”（\sigma=mathcal R ^ vee）是谱曲线（P（z，w）=0）的Ronkin函数（mathcal R\）的Legendre对偶。
继续先前的研究，作者集中于液体区域，其中表面张力是解析的且严格凸的，因此极小值（h）也是解析的。定理1表示，体积约束极小化问题的Euler–Lagrange方程可以改写为\（nabla h=（\arg w，-\arg z）/\pi\），其中\（z，w\）是满足\（z_x/z+w_y/w=c\）和\（P（z，w）=0\）的复函数。由此可知，该方程是精确可解的，其解由两个变量的解析函数（Q）参数化。下一步是证明函数（Q）对于稠密边界条件集是代数的。
这在定理2中是在\（P（z，w）=z+w-1）的情况下完成的（高度函数是阶梯曲面）。在证明过程中确定了一些独立利益的细节（绕组财产及其后果）。缠绕曲线的对偶称为云曲线。定理3建立了多边形轮廓的可行性和内接云曲线的（唯一）存在性之间的等价性。
几个明确计算的示例为这项工作锦上添花。
审核人：Michal Marvan（奥帕瓦）

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MSC公司：

14H81型 代数曲线与物理学的关系
35层30 非线性一阶偏微分方程的边值问题
52B20型 凸几何中的格多面体（包括与交换代数和代数几何的关系）
82B20型 格系统（伊辛、二聚体、波茨等）和平衡统计力学中出现的图上系统
82B26型 平衡统计力学中的相变（一般）
82个B41 平衡统计力学中的随机行走、随机表面、晶格动物等

关键词：

复无粘Burgers方程;二聚体模型;随机表面;极限形状;刻面;表面张力;哈纳克曲线;阿米巴虫;Ronkin函数

引文：

Zbl 1100.14047号;Zbl 1154.82007年
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{R.Kenyon}和\textit{A.Okounkov}，《数学学报》。199，第2号，263--302（2007；Zbl 1156.14029）
全文： 内政部 arXiv公司

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