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谢尔盖·理查德;拉斐尔·蒂德拉·德·阿尔德科阿

关于具有库仑型扰动的磁Dirac算子的谱。 （英语） Zbl 1152.35080号

J.功能。分析。 250，第2号，625-641（2007）.
本文对具有常方向可变磁场的三维Dirac算子的奇异矩阵值摄动进行了谱分析。在不失一般性的情况下，我们可以假设磁场的形式为（B（x{1}，x{2}，x{3}）=（0,0，B（x_{1}，x{2]））。Dirac算子在Hilbert空间（｛\text｛L｝｝^｛2｝（\mathbb R^｛3｝；\mathbb C^｛4｝））中描述了未扰动系统
\[H_{0}:=\字母{1}\Pi_{1}+\字母{2}\Pi_2}+\alpha_{3} P（P）_{3} +\βm，\]
其中，\（beta\equiv\alpha_{0}\）、\（alpha_}1\）、\_{j} -a个_{j} \）是具有矢量电势的磁平移的发生器
\[a（x{1}，x{2}，x{3}）=，\]
满足\（B=\部分_{1} 一个_{2}-\部分_{2} 一个_{1}\). 由于\（a{3}=0\），我们写\（P_{3}:=-i\partial{3}\），而不是\（\Pi{3}）。为了说明主要结果，我们引入了一些符号。设（H^{0}=\sigma{1}\Pi_{1}+\sigma{2}\Pi_{2}+\sigma_{3} 米\)在\（{\text{L}}^{2}（\mathbbR^{2{；\mathbb C^{2]）中，其中\（\sigma_{j}）是泡利矩阵。设\（\西格玛^{0}_{\text{sym}}）代表（H^{0}）和（-H^{0{）光谱的并集。我们用（{mathcal B}_{text{h}}（mathbb C^{4}）表示厄米矩阵的集合。设\（\|\cdot \|\）代表希尔伯特空间\（{\mathcal H}:={\text{L}}^{2}（\mathbb R^{3}；\mathbbC^{4}）的范数，以及\（{\ mathcal B}\ infty）\）-函数，使\（\vartheta=0\）靠近\（0\）和\（\vartheta=1\）接近无穷大。设（Q_{j}）是（{mathcal H}）和（Q:=（Q_}1}，Q_{2}，Q_{3}）中坐标上的乘法运算符。表达式\（\langle\cdot\rangle\）对应于\（\sqrt{1+（\cdot）^{2}}\）。扰动Dirac算子的极限吸收原理将用实数插值定义的Banach空间（{mathcal K}:=（{mathcal D}（langle Q_{3}rangle），{mathcal-H}）{1/2,1}来表示。
扰动分为两部分：正则矩阵值函数和具有紧支撑的奇异矩阵值函数。以下定义与前一部分有关。
定义。设\（V\）是与\（{text{L}}^{infty}（\mathbbR^{3}；{mathcalB}_{text{h}}（\ mathbbC^{4}））\元素关联的乘法运算符。然后
（a）
\如果\（\lim_{r\to\infty}\|vartheta（|Q|/r）V\|=0\），则（V\）在无穷远处很小；
（b）
\如果\（int^{infty}{1}\|\vartheta（|Q{3}|/r）V\|\，dr<\infty\），则（V\）为短范围。
（c）
假设（V）对于（x{3}）是连续可微的，并且映射（xmapstolanglex{3{_{3} V（V）)（x） \）属于\（{\text{L}}^{\infty}（\mathbb R^{3}；{\mathcal B}_{\text{h}}（\ mathbb C^{4}）），那么\（V\）是远程的，如果
\[\int^{\infty}_{1}\|\vartheta（|Q_{3}|/r）\langle Q_{3}\rangle（\partial_{3} V（V）)\|\压裂{dr}{r}<\infty。\]
本文的主要研究结果如下。
定理。假设对于所有的（x\in\mathbbR^{3}）来说，\（B）属于\（{text{L}}^{infty}_{text{loc}}（\mathbb R^{2}；\mathbb-R）\），并且\（V（x）\）属于\。假设C^{infty}_{0}（\mathbbR^{3}；\mathbb R）中存在\（chi\）、有限集\（\Gamma\子集\mathbb-R^{3}）和正数\（\nu<1），这样：
（i）
\（V_｛\text｛reg｝｝：=（1-\chi）V\）属于\（｛\text｛L｝｝^｛infty｝（\mathbb R^｛3｝；｛\mathcal B｝_｛\text｛h｝｝（\mathbb C^｛4｝））\）\（V{text{reg}}）无穷小，可以写成短程和长程电势之和；
（ii）
\（V{text{sing}}:=\chi V）可以写成两个矩阵值Borel函数的和^{3}_{text{loc}}（\mathbb R^{3}；{mathcal B}_{text{h}（\ mathbb C^{4}））和（V{text{C}}）
\[\|V{text{c}}（x）\|{{mathcal B}{text{h}}。\]
然后，在\（{mathcal H}\）中存在一个唯一的自共轭算子\（H\），形式上等于\（H_{0}+V\），域\（{mathcal D}（H）\子集{mathcal-H}^{1/2}_{\text{loc}}（\mathbbR^{3}；\mathbb C^{4}）\），这样：
（a）
\（\sigma_{\text{ess}}（H）=\sigma _{\text{ess}}（H_{0}）；\）
（b）
（mathbb R\set-nuse\sigma）中运算符（H）的点谱^{0}_{text{sym}}）由有限重的特征值组成，并且在（mathbbR\setminus\sigma）中没有累加点^{0}_{\text{sym}}\）；
（c）
运算符（H）在（mathbb R\set-nuse\sigma）中没有奇异连续谱^{0}_｛\text｛sym｝｝）；
（d）
对于每个（在{mathcal K}中的psi），在（在lambda中）的每个紧致子集上都存在极限（到0+}\langle\psi，（H-\lambda\mpi \varepsilon）^{-1}\rangle），一致地在（lambda）中^{0}_{text{sym}}\cup\sigma_{text{pp}}（H）\}\）。
这扩展了作者的早期结果[J.Math.Phys.45，No.11，4164–4173（2004；Zbl 1064.81028号)]，其中对扰动施加了两个限制：扰动必须是有界的，长程部分必须是标量型的。在本文中，这两个限制都被取消了，库仑势可以达到物理核电荷（Z<137）。
审核人：Kazushi Yoshitomi（东京）

引用于6文件

MSC公司：

35P05号 偏微分方程线性谱理论的一般主题
第35页 偏微分方程的散射理论
2010年第81季度 量子理论中的Selfadjoint算符理论，包括光谱分析

关键词：

狄拉克算子;磁场;库仑势;绝对连续谱;极限吸收原理;换向器方法

引文：

Zbl 1064.81028号
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{S.Richard}和\textit{R.Tiedra de Aldecoa}，J.Funct。分析。250，第2号，625--641（2007；Zbl 1152.35080）
全文： 内政部 arXiv公司

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