柯蒂斯·麦克马伦。 考克塞特群、塞勒姆数和希尔伯特度量。 （英语） Zbl 1148.20305号 出版物。数学。，上议院。科学。 95, 151-183 (2002). 引言：台球在一个锐角三角形中勾勒出的最短环是踏板的次三角形，连接着两个高度的脚。本文证明了Coxeter群（W）基本多面体中环的一个类似结果，并用它研究了（W）几何作用的谱半径（lambda（W），（W In W）。特别地，我们证明了定理1.1。设（W，S）为Coxeter系统，设（W\ in W\）。那么，\（\lambda（w）=1\）或\（\lambda（w）\geq\lambda_{\text{Lehmer}}\约为1.1762808\）。这里\（\lambda_{\text{Lehmer}}\）表示Lehmer的数字，多项式的根\[1+x-x^3-x^4-x^5-x^6-x^7+x^9+x^{10}\标签{1.1}\]和已知的最小塞勒姆数。台球回想一下，Coxeter系统\（（W，S）\）是一个具有有限生成集\（S=\｛S_1，\dots，S_n\｝\）的群\（W\），仅服从关系式\（S_is_j）^｛m_｛ij｝｝＝1\），其中\（m_｛ii｝＝1\）和\（m_｛ij｝\geq 2\）表示\（i\neq j\）。置换积\（W\）中的（s_{\sigma1}s_{\sigma2}\cdots s_{\ sigman}\，（s_n\）中是\（W，s）\的Coxeter元素。我们说，如果（w中的w）不共轭到由适当子集（I子集S）生成的任何子群（w_I子集w）中，那么它是必要的。Coxeter群通过反射（V\cong\mathbb{R}^S\）自然地起作用，保留了内积（B（V，V'）\）。设\（\lambda（w）\）表示\（w|V\）的光谱半径。当\（lambda（w）>1时，它也是\（w\）的特征值。我们将展示（§4）定理1.2。设（W，S）为Coxeter系统，设（W中的W）为本质。然后我们有（lambda（w）\geq\inf_{S_n}\lambda。这是与台球的关系。在双曲Coxeter系统的情况下（当（V，B）有符号（p，1）时），球面（Y=mathbb{H}^p/W）是一个凸多面体，由锐角相交的镜子包围。（Y）上的闭合测地线可以可视化为这个多面体中的台球追踪出的回路。同伦类\（w\in\pi_1（Y）=w\）中测地线的双曲线长度由\（log\lambda（w）\）给出。因此，定理指出\（Y\）中的本质台球环不短于最短的Coxeter元素。山雀圆锥体上的希尔伯特公制为了证明高秩Coxeter群（特征码\（p，q）\，\（q\geq 2 \））的定理1.2，我们需要对双曲空间进行推广。在这种情况下，Tits锥上的Hilbert度量提供了自然几何。凸锥（K\）内部的Hilbert距离是由\（d_K（x，y）=（1/2）\inf\log[a，x，y，b]\）的交比给出的，其中下确界位于包含\（[x，y]\）；当\（K）不包含行时，它是一个度量。我们将证明（§2），如果（λ（T）=lambda（T^{-1}），保持线性映射（K）的平移长度满足。Tits锥是在（W）的双重作用下形成（W）基本域的单形锥（F）的轨道。当\（W，S）\）为双曲线或更高秩时，\（K=\上划线{W\cdot F}\）不包含线，因此\（d_K\）是度量。同时，\（log\lambda（w）\）是\（K）上Hilbert度量中\（w）的平移长度，因此该几何可以用于研究特征值。我们提出（（mathbb{P}K^\circ，d_K）作为投影空间的Klein模型到高秩Coxeter群的自然推广（§3）。一旦这种几何形状就位，定理1.2的证明基于这样一个事实，即表示基本元素（w）的回路必须接触基本域（F）（§4）的所有面。 引用于27文件 理学硕士： 20层55 反射和Coxeter群（群理论方面） 20F05型 组的生成器、关系和表示 2006年11月 PV-数和推广；其他特殊代数数；马勒测量 37C85号 除\（\mathbb{Z}\）和\（\mathbb{R}\）以及\（\mathbb{C}\）之外的群体行为所诱导的动力学 37D40型 几何起源和双曲的动力系统（测地流和水平流等） 关键词：基本多面体;Coxeter组;谱半径;几何作用;考克塞特系统;莱默数;塞勒姆数字;台球 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{C.T.McMullen}，出版物。数学。，上议院。科学。95、151--183（2002年；Zbl 1148.20305） 全文： 内政部 Numdam编号 欧洲DML 链接