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克里斯滕森，拉尔斯·温特;格雷格·皮普梅耶;珍妮特·斯特里利;高桥，良

有限Gorenstein表示类型意味着简单的奇异性。 （英语） Zbl 1148.14004号

高级数学。 218，编号4，1012-1026（2008）.
在特征为0的代数闭域（K\）上，简单奇点通常称为超曲面（R=K[X_1，dots，X_{d+1}]/（f）\），其中（f\）是方程ADE[cf。V.I.Arnol’d，S.M.Gusejn-Zade和A.N.瓦尔琴科，可微映射的奇点。第一卷：临界点、焦散线和波前的分类。数学专著，第82卷。波士顿-巴塞尔-斯图加特：Birkhäuser（1985；Zbl 0554.58001号)]. 其中，这些是（形式）超曲面的等价条件：
（i） （R）很简单。
（ii）（R）是有限CM-表示类型（即不可分解极大Cohen-Macaulay模的同构类的数目是有限的）。
（iii）（R）为有限变形型。
该分类被扩展为G.-M.格雷尔和H.克罗宁[数学Z.203，第2期，339-354（1990；Zbl 0715.14001号)]对于任意特性，其中方程（f）在某些情况下看起来略有不同。
本文给出了简单奇点的一个新特征。在这种情况下，\（R\）是简单的如果它是有限CM-表示型超曲面。
作者讨论了以下条件：设（R）是局部noetherian环和（mathbf{修改}_R)\)有限生成\（R\）-模的范畴。让\（{mathcal G}（R）\）表示模\（M\in（\mathbf）{修改}_R)\)这样就有了一个精确的序列\[\dots\到F_n\到\点\到F_1\到\点数\到F_0\到M\到0\]带有\（F_i \）F.g.free，并且\[\点到F_n^*\到\点到F_1^*\至F_0^*\]复数的（（F_i）_{i\in\mathbbN}）是精确的（（^*\）表示代数对偶（text{Hom}（-，R））。这些模块被称为Gorenstein维数0（在Auslander-Bridger的意义上）或完全反射的（在阿夫拉莫夫·马尔辛科夫斯基的意义上）。
作者证明了：定理A。设（R）是完备的。如果（{mathcal G}（R）\）中不同于\（R\）类的不可分解模的同构类集是有限的且不为空，则\（R~）是简单的。
事实上，这与MCM表示的概念有着密切的关系。因此，有理由这样说有限Gorenstein表示类型在上述情况下。
一个定理J.赫尔佐格[《数学年鉴》233，21–34（1978；Zbl 0358.13009号)]状态：如果\（R\）是Gorenstein，并且是有限MCM表示类型，那么\（R \）是一个抽象超曲面，即\（A\）正则\（x\ in m_A\）的\（hat{R}\congA/xA\）。
另一方面，如果\（R\）是Gorenstein，则\（{\mathcal G}（R）=\mathcal{MCM}（R）\）。因此，定理A是下面的推论，它没有对局部noetherian环（R）做任何假设。
定理B。设\（R\）是局部noetherian环。如果\（{\mathcal G}（R）\）中不可分解模的同构类集是有限的，则\（R~）是Gorenstein或\。
在这一大背景下，已知的CM-逼近理论不再适用，但它给出了如何证明Gorenstein情形的上述结果的思路。作者发展了\（mathbf）中模的近似理论{修改}_R)\)关于\（{\mathcal G}（R）\）。更一般地说，事实证明有必要对任何自反子范畴\（\mathbf）的（\mathcal B\）{修改}_R)\)即，对于具有以下属性的子类别\（\mathcal B\）：表示\[{\mathcal B}^\perp:=\{L\in（\mathbf{修改}_R)\mid\text中{分机}_R^i（B，L）=0\；\；\对于{\mathcal B}中的所有B\，i>0\}。\]然后
\（\项目符号\）\（R\在{\mathcal B}\cap{\matchcal B}^\perp\中）
\（\bullet\）\（\mathcal B\）在直接和和下关闭。
\（\bullet\）\（\mathcal B\）在syzygies下关闭。
\（\bullet\）\（\mathcal B\）在代数对偶下是闭合的。
\（{mathcal G}（R））是已知的最大自反子范畴{修改}_R)\)，对于任何自反子范畴（mathcal B）都有包含\[{\mathcal F}（R）\subseteq（R），\]其中，\（{\mathcal F}（R）\）表示\（\mathbf）中自由模的完整子类{修改}_R)\).
利用Takahashi的结果，得到了覆盖存在的条件：假设\（mathbf）的Krull-Remak-Schmidt性质{修改}_R)\)，模块\（M\）具有\（\mathcal B\）-预覆盖，当它具有\（\mathcal B\）-近似时。
与MCM近似值有以下关系：
\（{\mathcal G}（R）\subseteq\mathcal{MCM}（R）\）iff\（R\）是Cohen-Macaulay。
定理B证明的中心部分是定理C，它将定理B简化为表明\（R\）的剩余域\（k\）具有自反外壳。
推论。对于局部环\（R\），使得\（{\mathcal G}（R）\）不仅包含自由模，以下条件是等价的：
\（\子弹\）\（R \）是戈伦斯坦。
\（bullet）剩余域（R/m）具有（{mathcal G}（R））-近似。
\（\bullet\）\（\mathbf）中的所有模块{修改}_R)\)具有最小（{mathcal G}（R））近似。
审核人：Marko Roczen（柏林）

引用于5评论
引用于27文件

理学硕士：

14B05型 代数几何中的奇点
18国道25号 相对同调代数，射影类（分类理论方面）
13 C14号机组 Cohen-Macaulay模块

关键词：

近似值;Cohen-Macaulay表示类型;盖子;Gorenstein维数;预覆盖器;简单奇点;全自反模

引文：

Zbl 0554.58001号;Zbl 0715.14001号;Zbl 0358.13009号
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\textit{L.W.Christensen}等人，高级数学。218，第4号，1012--1026（2008；Zbl 1148.14004）
全文： 内政部 arXiv公司

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