亨利克·伊瓦涅克 关于这位杰出人物的对话。 （英语） Zbl 1147.11047号 Friedlander，J.B.（编辑）等人，《解析数论》。2002年7月11日至18日在意大利Cetraro举行的C.I.M.E.暑期学校举行的讲座。柏林：施普林格出版社（ISBN 3-540-36363-7/pbk）。数学课堂讲稿1891，97-132（2006）。 众所周知，Dirichlet的类数公式将（L（1，chi），（chi\pmod D）作为由Kronecker符号给定的真实本原字符（（{D^{ast}over n}），其中（D^{last}=chi（-1）D）与二次数域的类数（h）联系起来。例如，当\（D^｛\ast｝＜-4\）时，公式为\（L（1，\chi）=\pi h（-D）/\sqrt｛D｝\）。因此，寻找类数下限的问题与（L（1，chi）的大小密切相关，如果（L（L，chi。从经典参数中可以知道，对于导体（D）的任何字符，（L（s，chi）neq 0）表示（operatorname{Re}s>1-{c\over\log（D（|t|+1））}，其中（c）是一个正的绝对常数，最多有一个例外。如果存在异常字符，它必须是真实的，异常零必须是真实且简单的。根据广义黎曼假设，（L（s，chi）的所有非平凡零点都位于临界线上（operatorname{Re}s={1\over2}），因此不存在这样的例外特征。在这种情况下，我们注意到作者将以下观察作为开发方法的基础：（L（1，chi））的值很小，这表明（chi（p）=-1）很常见，从Euler乘积中可以看出。因此，真正的异常字符\（\chi（m）\），如果它们存在，就假装是几乎所有无平方整数\（m）的möbius函数。由于迄今为止证明这种特殊性质不存在的努力都失败了，因此解决这一领域问题的方法要么假设未经证实的假设，要么如作者所写，“利用它来产生令人印象深刻但虚幻的结果”。这篇文章包含了关于寻找类数下限的各种方法的信息丰富的讨论，但没有深入技术细节，而是指出了每种方法中争论的核心。首先，说明了广义黎曼假设的简单含义：（sqrt{D}（\log\log D）^{-1}\llh（-D）ll\sqrt{D}\log\log D）。文中提到了另一种条件方法Granville-Stark方法，该方法在数域的（abc）-猜想的假设下，给出了一个非常接近于猜想数量级的结果。无条件Landau-Siegel方法给出了强结果\（h（-D）\gg D^{1\over 2}-\varepsilon}\），但由于其证明的性质，该结果是无效的（因为所涉及的常数不能明确表示为\（\varepsilon\）的函数，因此，这个结果不能用于确定所有具有固定类数的虚二次域）。从Siegel的论点中可以观察到，任何零的存在（β>{1\over2}）都有一定的排斥其他零的能力，并导致有效估计（h（-D）D^{beta-{1\ever2}}（log D）^{-1}）。Friedlander的工作表明了中心零点的作用（即在（s={1\over 2}）），以避免与Grand Riemann假设相矛盾，并指出了（L）函数和该零点在类数上的顺序。Armitage发现了这样一个来自数字域的L函数，因此Friedlander可以得到相对二次扩张类数的有效估计。（人们认为在中心点没有Dirichlet（L）函数消失）。作者写道，这项工作预期了Goldfeld的研究，并通过揭示中心零点的工作方式和原因，给出了Goldfeld有效下界的推导草图。这种方法取决于使用具有阶中心零点的\（L\）-函数。Gross和Zagier后来提供了与秩为（3）的椭圆曲线相关联的这样一个（L）函数，在Oestrele的进一步细化之后，Goldfeld的界的形状为（h（-D）\geq{1\over 55}\prod_{p|D}（1-{2\sqrt{p}\over p+1}）\log D）。随后简要阐述了萨纳克·扎哈里斯库方法，该方法假设存在一个自然的（L）函数，该函数在（geq 3）阶的（s={1\over 2}）处消失，以及仅适用于复零点的Grand Riemann假设，有效地得出了（h（-D）\gg D^{1\ever 6}-varepsilon}。当然，还必须考虑临界零点分布的影响，更具体地说，是临界零点的聚集。作者指出，蒙哥马利关于黎曼齐塔函数零点对相关的基本工作是由类数问题引起的。然后，解释了相关的Conrey-Iwaniec方法，该方法考虑了（mathbbQ（\sqrt{-D}））的Hecke（L\）-函数和（zeta{mathbbQ[\sqrt}-D}（s）=\zeta（s）\L（s，\chi{D}）\）。如果连续zeta零之间有足够数量的间隙小于平均间隙的一半，那么将出现几乎正确数量级的有效下限（损失一些\（\log D\）的幂）。由Conrey和Iwaniec得出的最著名的结果是，缺口的正比例是平均缺口的（<0.5169）倍，这略低于所需。当然，根据蒙哥马利的配对相关猜想，对于任何（θ>0），间隙的正比例都小于平均值的（θ）倍。作者对伽马因子如何控制临界线上L函数的变化进行了评论，并解释了为什么成对相关猜想预测零之间的间隙为非恒定密度函数，以及不同L函数的零必须相互了解。接下来，详细介绍了基于使用中心值为正的（L）函数族的Iwaniec-Sarnak方法。这种方法非常接近目标，但几乎没有漏掉，因此作者表达了他的信念：“有一个神奇的阴谋，阻止我们沿着我们的路线破解异常零的存在”。在对虚二次域类数的下界问题的这些方法进行了阐述之后，作者给出了例外性质的一些应用，以证明在某些涉及范围的情况下素数的存在性，这些范围即使是广义黎曼假设也无法探测到。这类应用中最著名的要归功于Heath-Brown，他指出，如果存在无穷多个例外零序列，那么就会有无穷多个孪生素数。本节的论述集中在作者在一系列论文中提出的一些想法上J.弗里德兰德以及作者本人[例如，参见《国际数论》第1卷第4期，第459-494页（2005年；Zbl 1098.11055号)]. 经过一些分析，主要思想清楚地表述如下。例外字符的存在为素数von Mangoldt函数（Lambda）创建了一个有用的替代物，用度为（3）的类除数函数表示，因此如果一种方法可以产生（sum{n\leqx}a{n}tau{3}（n）的渐近公式，然后可能会对其进行修改，以生成（sum{n\leqx}a{n}\Lambda（n））的渐近公式。在这里，作者提到了一个公式，在一个非常特殊的字符存在的情况下，在短至\（x^｛39｝over 79｝｝｝）的区间内，大小为\（x\）的素数的数量。请注意，黎曼假设不会让一个小于区间大小（\sqrt{x}）。本文的最后一部分致力于证明Linnik定理，即算术级数（a\pmodq）中的最小素数（p{min}（a，q））满足（p{min}（a,q）\llq^{L}）。回想一下，最著名的结果是由于Heath-Brown with \（L=5.5\），GRH提供了任意\（L>2\）的结果，并且相信该结果应与任意\（L>1\）保持一致。本文基于作者与弗里德兰德的共同工作，论述了与特殊角色的存在或不存在相对应的两种情况。假设存在一个非常例外的特征，则在一定范围内得到了（q）的结果（L=2-{1/59}），这也超出了广义黎曼假设所能达到的结果。评论员很高兴能接触到如此多样的方法和简洁解释的结果，因此向所有分析数论学生推荐这项调查关于整个系列，请参见[Zbl 1098.11002号].审核人：耶尔德隆水泥厂（伊斯坦布尔） 引用于6文件 数学溢出问题： 有可能改进Siegel的例外零点定理吗？ MSC公司： 11米20 \（L（s，\chi）\）的实零点；\（L（1，\chi）\）上的结果 2006年11月11日 \（zeta（s）和（L（s，chi）） 11米26 \（zeta（s）\）和\（L（s，chi）\）的非实数零；黎曼和其他假设 关键词：特殊字符;二次域的类数 引文：Zbl 1098.11055号 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \文本｛H.Iwaniec｝，Lect。数学笔记。1891，97-132（2006；Zbl 1147.11047） 全文： 内政部