海因·哈恩 一些函数在除数上的卷积和。 （英语） Zbl 1137.11005号 落基山J.数学。 37，第5期，1593-1622（2007）. 对于\（s，n\in\mathbb{n}\），设\（\widetilde{\sigma}_s（n）=\sum_{d|n}（-1）^{d-1}天^s）和\（\widehat{\sigma}_s（n）=\sum_{d|n}（-1）^{（n/d）-1}d^s），其中\（\widetilde{\sigma}_1（n如果\（n\notin\mathbb{n}\），则_s（n）=0\）。本文的目标之一是建立涉及某些\（s）的\（\ widetilde｛\ sigma｝_s）和\（\ widehat｛\ sigma｝_s）的卷积和；作者通过定义三个与（widetilde{sigma}_s）和（widehat{sigma}_s。作者还导出了由函数\（mathcal{P}（q）\）、\（mathcal{E}（g）\）和\（mathcal{q}（k）\）所关联的无穷级数的一些表示，如\（sum{n=1}^{infty}（-1）^{n-1}个^（m=3,5,7）。设（rs（n）和（delta_s（n））分别是（n）作为（s）平方和（s）三角数之和的表示数，作者证明了（r4（n）=16，widehat{σ}（n/2）+8，wideheat{∑}{n-1}\widetilde{\sigma}3（n），和（8\delta8（n）=\widetilde{\sigma}_3（n+1）-\widetelde{\sigma}_3。最后，作者利用色分割的概念找到了一些分割同余；更准确地说，对于由关系定义的（sum{n=0}^{infty}）和（nu（n））^8（1+q^n）^8），一个有（mu（3n-1）\equiv0\pmod{3}）和（nu（n-1）\ equiv\widetilde{\sigma}_3（n）\pmod}）。在许多证明中，作者使用了椭圆函数理论中的过程复制，这使我们能够从“旧”公式推导出“新”公式。审核人：迈赫迪·哈萨尼（赞詹） 引用于三评论引用于13文件 MSC公司： 11月25日 算术函数；相关数字；反演公式 11A67号 其他数字表示 33E05 椭圆函数和积分 40A05型 级数和序列的敛散性 第11页83 分区；同余与同余限制 关键词：卷积和;除数和;微分方程;无穷级数;三角形数;彩色隔板;程序复制;椭圆函数 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{H.Hahn}，洛基山J.数学。37，第5号，1593-1622（2007；Zbl 1137.11005） 全文： 内政部 arXiv公司 欧几里得 整数序列在线百科全书： n的奇除数之和。 广义除数和函数：n的奇数除数之和超过n的偶数除数和。 a（n）=（-1）^n*Sum_{d|n}（-1）*d*d^2。 a（n）=和{d除以n}（-1）^（n/d+1）*d^2。 a（n）=和{d除以n}（-1）^（n/d+1）*d^3。 a（n）=和{d|n}（-1）^（d-1）*d^3。 参考文献： [1] G.E.Andrews、S.B.Ekhad和D.Zeilberger，雅各比公式的简短证明，整数表示为四个平方和，Amer。数学。月刊100（1993），274-276。JSTOR公司：·Zbl 0769.11020号 ·doi:10.2307/2324461 [2] B.C.Berndt，Ramanujan的笔记本，第二部分，Springer-Verlag，纽约，1989年·Zbl 0716.11001号 [3] --——《拉马努扬的笔记本》，第三部分，施普林格-弗拉格出版社，纽约，1991年·Zbl 0733.11001号 [4] --–，Ramanujan的θ函数理论，CRM会议录和讲义1（1993），1-63·Zbl 080111024号 [5] N.Cheng和K.S.Williams，涉及除数函数的卷积和，Proc。爱丁堡数学。Soc.公司·兹比尔1156.11301 ·doi:10.1017/S0013091503000956 [6] L.Dickson，《数字理论》，第三卷，切尔西，纽约，1952年。 [7] G.Eisenstein、Neue Theoreme der höheren Arithmetik、J.reine Angew。数学。35 (1847), 117-136. [8] J.W.L.Glaisher，在系数为指数除数之和的序列的平方上，Mess。数学。14 (1884), 156-163. [9] --–，关于数量乘积的某些和，取决于数字的除数，Mess。数学。15 (1885), 1-20. [10] --–，系数为指数除数之和的级数前五次幂的表达式，Mess。数学。15 (1885), 33-36. [11] H.Hahn，Eisenstein级数，《Rogers-Ramanujan函数的类似物和分区恒等式》，伊利诺伊大学厄本那-香槟分校博士论文，2004年。 [12] J.G.Huard，Z.M.Ou，B.K.Spearman和K.S.Williams，涉及除数函数的某些卷积和的初等评估，《千年数论》，M.A.Bennett，B.C.Berndt，N.Boston，H.G.Diamond，A.J.Hildebrand和W.Philipp，eds.，A.K.Peters，Natick，Massachusetts，2002·兹比尔1062.11005 [13] C.G.J.Jacobi，《未命名donnéen quatre carrés分解笔记》，J.reine Angew。数学。3 (1828), 191; 沃克，第一卷，第247页。 [14] --–，《新理论基础-功能椭圆体》，1829年；沃克，第1卷，第49-239页。 [15] --–，De compositione numerorum e quatoris，J.reine Angew。数学。12 (1834), 167-172; 沃克，第六卷，第245-251页。 [16] A.M.勒让德（A.M.Legendre），《功能特性》（Traitédes functions elliptiques et des intégrales Euleriennes），第三卷，胡扎德·库西（Huzard-Courcier），巴黎，1828年。 [17] J.Liouville，Sur quelques formules g（\acutee）n（\acetee）rales qui peuvent（\hate）tre utiles dans la th（\acotee）orie des nombres（第五篇文章），J.Math。Pures应用程序。3 (1858), 273-288. [18] K.Ono、S.Robins和P.T.Wahl，《关于整数表示为三元数之和》，Aeq。数学。50 (1995), 73-94. ·兹伯利0828.11057 ·doi:10.1007/BF01831114 [19] V.Ramamani，srinivasa ramanujan在他的石版笔记中猜想的一些恒等式，与配分理论和椭圆模函数有关/ [20] --–，《关于与拉马努扬工作相关的一些代数恒等式》，载于《拉马努詹国际分析研讨会》，N.K.Thakare主编，印度麦克米伦出版社，德里，1989年 [21] S.Ramanujan，《关于某些算术函数》，Trans。剑桥菲洛斯。《判例汇编》第22卷（1916年），第159-184页。 [22] --–，《论文集》，剑桥大学出版社，剑桥，1927年，切西重印，纽约，1962年；美国数学学会再版，普罗维登斯，RI，2000年。 [23] ---，《丢失的笔记本和其他未发表的论文》，新德里纳罗沙，1988年·Zbl 0639.01023号 [24] B.K.Spearman和K.S.Williams，雅可比四平方定理的最简单算术证明，远东数学杂志。科学。（FJMS）2（2000），433-439·Zbl 0958.11029号 [25] 威廉姆斯，雅各比八平方定理的算术证明，远东数学杂志。科学。（FJMS）3（2001），1001-1005·Zbl 1004.11017号 此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。