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李松晓;斯特维奇，斯特沃

Zygmund空间和Bloch型空间上的广义复合算子。 （英语） Zbl 1135.47021号

数学杂志。分析。申请。 338，第2期，1282-1295（2008）.
设（D）表示复平面上的单位圆盘，设（H（D））表示在（D）上全纯的所有函数的集合，设（C（上划线{D}）表示在D的闭包上连续的所有函数集合。Bloch型空间（或\（\alpha\）-Bloch空间）是形式为\[B^{\alpha}=\{f\在H（D）中：\sup_{z\在D}（1-|z|^{2}）^{\alpha}|f'（z）|<\infty\}中，\]其中空格\（B^{\alpha}\）为范数\[\|f\|_{B^{\alpha}}=|f（0）|+\sup_{z\在D}（1-|z|^{2}）^{\alpha}|f'（z）|中。\]Zygmund空格\（Z\）是空格\[Z=\左\{f\在H（D）\cap C（\overline{D}）中：\sup_{theta\在[0，2\pi]中，H>0}\frac{|f（e^{i\theta+H}）+f（e*i\theta-H}）-2f（e|i\thetar}）|}{H}<\infty\right\}，\]根据以下给出的规范\[\|D}（1-|Z|^{2}）|f''（Z）|中的f\|_{Z}=|f（0）|+|f'（0）|+\sup_{Z\。\]总之，\（\varphi\）表示\（D\）的非恒定分析自映射。基本复合运算符由\（C_{\varphi}f=f\circ\varphi\）给出用于H（D）中的\（f\）。设\（g\在H（D）\中）并定义线性算子\[（C_{\varphi}^{g} （f）)（z） =\int_{0}^{z}f'（\varphi（\zeta））g（\zeta\），d\zeta。\]作者给出了一般复合算子（C_{varphi}^{g}:Z\toB^{alpha}）是有界算子的条件，以及它是紧算子的条件。还考虑了当\（C_{\varphi}^{g}:Z\ to Z\）和当\（C_{\valphi}^}:B^{\alpha}\ to Z\）是有界运算符以及当它是紧运算符时的情况。出租\[B_{0}^{\alpha}=B^{\alpha}:\lim_{|z|\到1}\；（1-|z|^{2}）^{\alpha}|f'（z）=0\right\}，\]并让\[Z_{0}=\left\{f\在Z:\lim_{|Z|\到1}（1-|Z|^{2}）|f''（Z）|=0\right\}中，\]用（B_{0}^{alpha}）代替（B^{alha}），用（Z{0}）取代（Z\），得到了相应的结果。以下是两个典型的结果。定理。如果\（0<\alpha<\infty\），如果\（H（D）中的g\）和\（\varphi\）是\（D\）的解析自映射，那么\（C_{\varphi}^{g}:Z\到B^{\alpha}\）是有界的当且仅当\[\sup_{z\在D}\中，（1-|z|^{2}）^{\alpha}|g（z）|\log\frac{1}{1-|\varphi（z）| ^{2{}<\infty。\]此外，该算子是紧的当且仅当它是有界的且\[\lim{|varphi（z）到1}；（1-|z|^{2}）^{\alpha}|g（z）|\log\frac{1}{1-|\varphi（z）|1{2}}=0。\]定理。如果\（0<\alpha<\infty\），如果\（g\在H（D）\中），如果\（\varphi\）是\（D\）的解析自映射，则以下语句是等价的：（i）\（C_｛\varphi｝^｛g｝：B^｛\alpha｝\ to Z\）是紧致的；（ii）（C_{\varphi}^{g}:B_{0}^{alpha}到Z\）是紧的；（iii）（C_{\varphi}^{g}:B^{\alpha}\到Z\）是有界的，并且\[\lim_{|\varphi（z）|\到1}\frac{（1-|z|^{2}）|\varfi'（z）|，|g（z）|1}{（1-|z||^{2]）^{\alpha+1}}=0\quad\text{和}\quad\\lim_}|\varpi（z alpha}}=0。\]
审核人：彼得·拉普潘（东兰辛）

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引用于170文件

MSC公司：

47B33型 线性合成运算符
30D45型 一个复变量的正规函数，正规族
47B38码 函数空间上的线性算子（一般）
46埃15 连续、可微或解析函数的Banach空间

关键词：

Zygmund空间;Bloch类型空间;广义复合算子
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{S.Li}和\textit{S.Stević}，J.Math。分析。申请。338，第2号，1282--1295（2008；Zbl 1135.47021）
全文： 内政部

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