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伊戈尔·库卡维卡

对数凸性和向后唯一性。 （英语） Zbl 1119.35007号

程序。美国数学。Soc公司。 135，第8号，2415-2421（2007）.
作者研究了演化方程的后向唯一性问题。也就是说，我们考虑一个演化方程
\[\partial_tu+Au=f（u）\tag{1}\]
（在巴拿赫空间（X）上）受到一些限制；一个是在[0，t]\中给出一个解\（u（t）：t\，使得\（u（t）=0\）。现在，我们在\（A\）、\（f\）和\（u\）上寻找条件，以保证\（u（t）=0\）for \（t\ in[0，t]\）成立。这个问题已经被许多作者讨论过了。在这里，作者根据以下假设调查了这个问题。在具有标量积（（，，，）和范数（，）的实或复Hilbert空间（H）上，有一个演化方程\[\C（[t_0,0]，H）中的部分_ u+Au=f，四元f\]受以下规定约束：（A\）与\（{\mathcal D}（A）\subseteq H\）对称，并且这样\（（Av，v）\geq 0\），\（v\ in{\mathcal D}（A）\）。此外，有一个（2）的解（u（\；）\，即：\[u\在C^1（[T_0,0]，H）中；\{数学D}（A）\text{中的四元u（t）用于[t_0,0]\text{和}Au（\；）中的}t\]和（u（\；）\）满足（2）点态。下一个出租\[M_0\geq 2\sup_｛t\在[t,0]｝\|u（t）中\|\]并设置\（L（x）=\log（M^2_0/x^2）\）和\（A^{1/2}w\ |=（Aw，w）^{1/2]），\（w\ in{mathcal D}（A）\）。假设函数\（f（t）\），\（t \ in[t_0,0]\）满足两个不等式，其中第一个不等式如下：\[\|f\|\leq\frac{K_1}{L（\|u\|）^{\beta/2}}\\|A^{1/2}u\|^{1-\beta}\|Au\|^\beta+K_2 L（\|u\|）^{\alpha/2}\|u\ |，\quad u=u（t）\tag{4}\]
在[t_0,0]\中为\（t\），在[0,1]\中有一些\（\alpha，\beta\），\（K_1，K_2\geq0\），如果\（\beta=1\），则为\（K^2_1\leq\alpha/8\）。第二个不等式类似，但更复杂。主要结果是定理2.1，该定理指出，在上述条件下，（u（0）=0\）意味着（u（t）=0\\）对于（t\ in[t_0,0]\）。证明是通过一系列复杂的恒等式和不等式进行的，此处无法讨论。因此，表达式发挥了中心作用
\[\宽波浪号Q（t）=Q（t）L（u（t））^，\]
其中，（Q（t）=\|A^{1/2}u（t）\|^2\|u（t。本文总结了PDE的三个应用，其中两个应用于抛物线PDE，而第三个应用于（2π）周期设置中的（2d）-Navier-Stokes方程。这是一个考虑系统
\[\partial_t u-\Delta u+（u\nabla）u+\nabla p=f\text{on}\Omega=[0,2\pi]^2，\；\text｛div\，｝u=0\标签｛5｝\]
具有（2\pi）-周期边界条件和（f）时间无关。众所周知，（5）承认一个全局吸引子。然后，定理3.1说明以下关系成立：\[\sup_{u_1，u_2}\ frac{|\nabla（u_1-u_2）\|^2}{\|u_1-u_2\|^2，{\mathcal D}（u_1、u_2）}<\infty\text{where}\|\；\|=\|\\|_{{\mathcal L}^2_{\text{per}}}，\；u_1，u_2\在{\mathcal A}中，\；u_1\neq u_2\tag{6}\]
而\（{\mathcal D}（u_1，u_2）=\log（M^2_0/\|u_1-u_2\|^2）\）和\（M_0=4\sup\|u\|\），\（u\ in{\mathcal A}\）。没有因子（{mathcal D}（u_1，u_2）），（6）是否成立是一个悬而未决的问题。
审核人：布鲁诺·斯卡佩里尼（巴塞尔）

引用于13文件

理学硕士：

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35B41型 吸引器
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3420国集团 抽象空间中的非线性微分方程
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关键词：

向后唯一性;对数凸性;Navier-Stokes方程
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{I.Kukavica}，程序。美国数学。Soc.135，No.8，2415--2421（2007；Zbl 1119.35007）
全文： 内政部

参考文献：

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