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比尔·杰克逊;布丽姬·塞瓦提乌斯;赫尔曼·塞瓦提乌斯

某些图族的二维刚性。 （英语） Zbl 1118.05020号

J.图论 54，第2期，154-166（2007）.
本文研究图的刚性。框架是一个带有从（V）到（{mathbbR}^{2}）的映射的图（G=（V，E）：把它看作是将（G）嵌入到（{mathbbR}^{2}）中的直线。如果坐标（v中的p（v）：，v是代数独立的，那么它是通用的。两个这样的框架是等价的，如果（p（u）-p（v）\|=\|q（u）-q（v）\ |\）wherever（u\sim v\），如果（p\|u）-p-（v）=\|q/u）-q/v（v）对v（G）中的每个\（u，v\）都成立（所以同余意味着等价，反之亦然）。我们现在说图是全局刚性的，如果等价于泛型框架（（G，p）的每个框架（（G，q））实际上与它同余，并且如果存在一个（varepsilon>0），使得满足（p（u）-q（u）的每个等价框架\|<\varepsilon\）表示所有\（u \ in V \）与\（（G，p）\）同余。（有些图是刚性的，但不是全局刚性的。）最后，我们说，如果（G）是刚性的并且（G\backslash e）对所有（e中的e）都不是刚性的，那么（G）就是最小刚性的。
G.拉曼[J.Eng.Math.4，331-340（1970；Zbl 0213.51903号)]证明了图是最小刚性的当且仅当
\[|E|=2|V|-3\tag{1}\]和
\[|F|\leq 2|V（F）|-3\tag{2}\]
对于（E）的所有非空子集（F）（此处，V（F）表示与（F）中至少一条边相关的所有顶点）。L.Lovász观察到，性质（1）和（2）定义了顶点集\（V\）上完备图的边集上的拟阵，其独立集是满足上述性质（2）的边集。刚性拟阵是该拟阵对\（E（G）\）的限制，用\（{\mathcal M}（G））表示，其秩为\（r（G）。因此，\（G=（V，E）\）是刚性的当且仅当\（r（G）=2|V|-3\）。一般来说，洛瓦兹和Y.Yemini（耶米尼）[SIAM J.代数离散方法3，91–98（1982；Zbl 0497.05025号)]确定了图的刚性拟阵的秩函数，并证明了图是刚性的当且仅当_{i} E类_{i} 我们有（sum{i=1}^{m}（2|V{i}|-3）geq2|V|-3\）。这意味着，请参阅同一篇论文，每个（6）连通图都是刚性的：后来的研究表明，每个（5）连通图实际上都是全局刚性的。
本文的目的是探讨其他各种图形理论属性，如及物性、循环连通性和正则性如何影响刚性和全局刚性。第一个结果是定理2.2：设（G=（V，E）是具有（n）个顶点和公共度（k）的连通顶点传递图。回想一下，图（G）中的（r）因子是生成（r）正则子图。则\（G\）不是全局刚性的当且仅当（a）\（k=2\）和\（n\geq 4\），（b）\（k=3\）和\（n\geq 6\），（c）\（k=4\）和\（G\）具有由\（k_｛4｝\）的\（s\）不相交副本组成的3因子\（F\），其中\（s\geq 3\），以及（d）\（k=5\）和\（G\）具有由\（s\）不相交副本组成的4因子\（F\）\（k_｛5｝\）其中\（s\geq 6\）。
对于刚性，也有类似的结果：具有（n）个顶点和公共度（k）的顶点传递图（G）是非刚性的当且仅当（e）（k=2）和（n geq 4），（f）（k=3）和\）和\（G\）有一个4因子（F），由（K_{5}）的不相交副本组成，其中（s\geq 8）。特别是，可以证明只有四个顶点传递图是刚性的，但不是全局刚性的：它们列在推论2.6中。
下一个目标是削弱（全局）刚性的6连通性充分条件。我们说（G）本质上是6连通的当且仅当以下三个条件成立时：（a）（G）是4连通的。（b） 对于这样的子图对（G_1}，G_2}），即（G=G_1}\cup G_2}\），（|V（G_1{1}）\backslash V（G_2}）|\geq3\）和（|V。（c） 对于这样的子图对（G_1}，G_2}），即（G=G_1}\cup G_2}\），（|V（G_1{1}）\backslash V（G_2}）|\geq 4\）和（|V。结果是，每个本质上6连通的图都是全局刚性的。本质上6连通图的全局刚性的一个结果是，循环5边连通4正则图是全局刚性的。
最后一个主题是随机正则图。随机正则图理论中的标准结果与前面的结果相结合表明，从（n）顶点上的所有（d）-正则图中一致随机选择的随机图（G{n，d}）是全局刚性的whp（whp）（意思是，概率趋向于1，表示（d\geq 4）。作者还考虑了一个随机图（G（n，p（n）），其中每对顶点以概率相邻，与所有其他边无关。然后证明了如果（p（n）=（log（n）+k\log（n）+w（n））/n）其中\（lim_{n\rightarrow\infty}w（n）=infty\），那么（a）如果\（k=2\），\（G\）是刚性的whp（whp），（b）如果\（k=3\），\（G\）是全局刚性的whp（whp）.
审核人：David B.Penman（科尔切斯特）

引用于2评论
引用于11文件

MSC公司：

05年10月 平面图；图论的几何和拓扑方面
05C25号 图和抽象代数（群、环、域等）
05C80号 随机图（图形理论方面）
05B35号 拟阵和几何格的组合方面

关键词：

刚性;整体刚度;顶点传递的;随机图

引文：

Zbl 0213.51903号;Zbl 0497.05025号
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit｛B.Jackson｝等人，《图论》第54期，第2期，第154-166页（2007年；Zbl 1118.05020）
全文： 内政部

参考文献：

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