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莱昂尼德·米特尼克;埃德温·珀金斯;阿尼亚·斯特姆

非Lipschitz系数随机热方程的路径唯一性。 （英语） Zbl 1108.60057号

安·普罗巴伯。 第34期，第5期，1910年-1959年（2006年）。
本文处理形式为的随机热方程\[\压裂{\部分}{\部分t}u（t，x）=\压裂{1}{2}\增量u（t、x）dt+\西格玛（u（t），x））\dot{W}（x，t），\tag{1}\]
其中，\（Delta）表示拉普拉斯量，\（W）是在\（{mathbb R}_+\乘以{mathbbR}^d）意义上的高斯鞅测度J.B.沃尔什[发表于：《圣徒的概率》第XIV-1984年。莱克特。数学笔记。1180, 265–437 (1986;Zbl 0608.60060号)]. 注意，\（W\）是在滤波概率空间上定义的\（（\Omega，｛\mathcal F｝，｛\mathcal F｝_t，｛\mathbb P｝）\）和\（W_t（\varphi）\）\（=\）\（\int_0^t\int_｛\mathbb R｝^d｝\varphi（s，x）W（dx，ds）\）是\（\varphi）\（\in\）\（C_C^｛\infty｝bb R｝_+\times｛\mathbb R｝^d）\）紧支撑的空间，（{mathbbR}_+\乘以{mathbb R}^d\）上的无穷可微函数。这里，（u）是一个在（{mathbb R}_+times）上的随机函数，系数（sigma）是在（{mathbb R{）上的实值连续函数，满足全局增长条件：对于所有（u在{mathbbR}中），存在一个常数（c_0），这样\[|\sigma（u）|\leqsland c_0（1+|u|）。\标记{2}\]
作者证明了（1）的存在性和路径唯一性，特别是在非Lipschitz系数和奇异空间噪声相关的情况下。一个随机过程（u:\）\（Omega\ times{\mathbb R}_+\ times}\mathbbR}^d\）\（to{\mathbb R}\）被称为随机热方程（1）的解，该过程是可联合测量的和（{\mathcal F}_t\）自适应的，其常数意义相对于定义在\（\Omega \）上的鞅测度\（W\）的变化，和初始条件\（u_0\），如果对每个\（t \geq 0 \），则对几乎所有\（x \ in{mathbb R}^d \），\[u（t，x）=\t（x-y）u_0（y），dy+int_0^t\int_{{mathbb R}^d}p_{t-s}（x-y，u（s，y））W（dy，ds），\tag{3}\]
其中，（p）表示（d）维热核。对于范数\（f\|_{lambda，\infty}\）\（=\）\\（f\|{lambda，\infty}<\infty）对于任何\（\lambda>0\}），被赋予由\（\λ>0\）的范数\（\cdot\。据说，（C（{mathbb R}~+，C{text{tem}}）中（3）的解的路径唯一性成立，如果对于每一个（u_0 in）（C{text}tem}），具有样本路径a.s.in的（3）解的任意两个解的概率必须等于1。设函数\（k=k（x，y）\）：\（{\mathbb R}^{2d}\ to{\mathbb R}\）为\（W\）的相关核。对于C_{text{tem}}中的\（u_0\），假设\[|k（x，y）|\leqslead c1\{|x-y|^{-\alpha}+1\}\tag{4}\]
对于所有（x，y\ in{mathbb R}^d）和一些（alpha\ in（0，2\楔形d）），（3）存在一个随机弱解，其中样本路径为a.s.in（C（{mathbbR}_+，C{text{tem}}）。这是主要结果，它对任何空间维度都有效。
定理假设，对于某些\（α\ in（0,1）\），\（σ：\）\（{mathbb R}\ to{mathbbR}\）是某些\（γ\ in（（1+\alpha）/2，1]\）的Hölder连续的指数\（\gamma\），并且（4）保持不变。那么，（C（mathbb R_+，C_{text{tem}}）中（3）的解的路径唯一性成立。
有关其他相关工作，请参见例如。L.Mytnik公司【Ann.Probab.26，No.3，968–984（1998；Zbl 0935.60045号)]和A.Sturm公司【Electron.J.Probab.8，第6号论文（2003年）；Zbl 1064.60199号)].
审核人：Isamu Doku（斋戒）

引用于2评论
引用于37文件

MSC公司：

60甲15 随机偏微分方程（随机分析方面）
60K35型 相互作用的随机过程；统计力学类型模型；渗流理论
60K37型 随机环境中的进程
60J80型 分支过程（Galton-Watson、出生和死亡等）
60F05型 中心极限和其他弱定理

关键词：

有色噪声;随机偏微分方程

引文：

Zbl 0608.60060号;Zbl 0935.60045号;Zbl 1064.60199号
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit｛L.Mytnik｝等人，Ann.Probab。34，第5号，1910年--1959年（2006年；Zbl 1108.60057）
全文： 内政部 arXiv公司

参考文献：

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