库马雷桑，S。 度量空间的拓扑。 （英语） Zbl 1106.54001号 新德里：Narosa出版社（ISBN 81-7319-656-7/pbk）。xii，152页。(2005). 鉴于最近出版的关于公制空间的书S.Shirali公司和H.L.瓦塞杜瓦[公制空间。伦敦：施普林格出版社（2006；Zbl 1095.54001号)]对于那些将继续学习分析的人来说很有趣，这本书是一般拓扑学课程的一个很好的预备或补充课本。从一开始，作者就强调几何和拓扑推理。许多想法和概念都用信息丰富的图片加以说明。关于基本概念的第1章由两部分组成（34页）。第1.1节从度量空间的定义开始。证明了内积诱导范数，范数诱导度量，并且可以通过这种方式获得度量空间的许多（标准）示例（例如，（mathbb{R}^n）上的各种度量，包括欧几里德度量、空间（l^infty）、空间（l ^p）和空间（C[0,1]\）上的多种度量连续实值函数）。还介绍了度量空间的其他自然示例（例如，离散空间、子空间、度量空间的有限乘积）。第1.2节专门讨论度量空间中的开集和闭集。第25页介绍了度量空间的拓扑。从那时起，人们经常指出，为度量空间引入的许多概念可以推广到（某些类别的）拓扑空间。关于收敛的第2章（20页）从收敛序列（2.1）和极限与簇点（2.2）开始。第2.3节研究了柯西序列和度量空间的完备性。第2.4节介绍了度量空间的有界子集，第2.5节考虑了稠密子集。在2.6中，引入了拓扑基的概念，2.7专门用于度量空间子集的边界。第三章的主题是连续性（24页）。在第3.1节中，从收敛序列的角度介绍了度量空间之间函数的连续性（第56页）。连续性的等价刻画在3.2中进行了研究，其中表明它们可以很容易地推广到任意拓扑空间。本节还包含度量空间的Urysohn引理和Tietze扩张定理的证明。在3.3中定义了同胚，3.4是一致连续的。函数极限和开闭映射分别在3.5和3.6中考虑。关于压实度的第4章由四节（26页）组成。第4.1节包含紧性的开覆盖定义和Heine-Borel定理的证明（mathbb{R}）和（mathbb{R}^n）。4.2是紧度量空间上的连续函数。4.3中研究了度量空间中紧致性的几个著名等价性。作为使用紧性参数的一个例子，可以证明\（\mathbb{R}^n \）上的任意两个范数是等价的。Arzela-Ascoli定理在4.4中得到了证明。关于连通性的简短第5章只有两个部分（15页），其中包含有关连通度量空间（5.1）和路径连通度量空间的基本事实（5.2）。关于完备度量空间的最后一章（26页）首先证明了分别有界连续函数的两个经典度量空间的完备性，以及连续函数的另一个度量空间的非完备性（6.1）。在6.2中，提供了公制空间完成的两种构造。第6.3节包含了Baire范畴定理的证明及其众所周知的关于连续实值函数空间中无处微分函数的稠密性的结果。在最后一节6.4中证明了Banach不动点定理，然后应用该定理证明了形式为（{dy\ over dx}=f（x，y）\）的微分方程存在唯一解的Picard定理。虽然还有其他关于度量空间的书更全面，但这本书很有趣，因为它鼓励解决问题和拓扑推理。它包含相对较少的定理，但大约400个练习。我们喜欢读这本刺激的书。审核人：H.Brandenburg（柏林） 引用于2评论引用于三文件 MSC公司： 54-01 关于一般拓扑学的介绍性说明（教科书、教程论文等） 54E35个 度量空间，可度量性 关键词：度量空间 引文：Zbl 1095.54001号 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{S.Kumaresan}，度量空间的拓扑。新德里：Narosa出版社（2005；Zbl 1106.54001）