德克·克莱默 费曼图的结构：霍普夫代数和对称。 （英语） Zbl 1088.81077号 Lyubich，Mikhail（编辑）等人，《数学和理论物理中的图形和模式》。2001年6月14日至21日，纪念丹尼斯·沙利文60岁生日的会议记录。普罗维登斯，RI：美国数学学会（AMS）（ISBN 0-8218-3666-8/hbk）。《纯粹数学研讨会论文集》73，48-78（2005）。 本文回顾了微扰量子场论的代数/组合结构，如[D.克里默，重整化理论讲座。（波士顿大学，2001年）]。更准确地说，作者展示了微扰量子场论重整化过程中的复杂计算是如何隐藏了丰富的代数结构的，可以用费曼图的组合学来描述。也就是说，以所有可能的方式将图（Gamma_2）插入到（Gamma_1）顶点的基本操作是预Lie操作，因此其反对称化定义了费曼图所跨越的向量空间上的李代数结构。该李代数的泛包络代数的对偶（{mathcal H}）是一个Hopf代数。副积可以用费曼图的组合学来明确描述；即\（\Delta（\Gamma）=\Gamma\otimes 1+1\otimes\Gamma+\sum_{\Gamma\subset\Gamma}\Gamma\otimes\Gamma/\Gamma\），其中\（\Gama/\Gamma）表示通过折叠子图\（\Gamma_）的所有边从\（\伽马\）获得的图。也可以明确地描述（{mathcal H}）中的反极：一个具有递归公式\（S（\Gamma）=-\Gamma-\sum_{\Gamma\subset\Gamma}S（\Gamma）\cdot\Gamma/\Gamma\）。微扰量子场论组合学代数化的下一个要素是费曼规则和重整化方案。费曼规则是字符（φ冒号{mathcal H}到V），其中（V）是一些代数；重整化方案被视为（V）的线性自同态（R），使得（V，R）是一个Rota–Baxter代数（此外，对于任何图（Gamma），“物理”要求（R）保持（φ（伽马）的紫外发散）。给定重整化方案\（R\），可以使用它将字符\（\phi\circ S\）变形为\（S^\phi_R（\Gamma）=-R[\phi（\伽玛）]-R[\sum_{\Gamma\subset\Gamma}S^\ph_R（\ Gamma）\phi S^\phi_R（伽马）\phi（伽玛/\Gamma）\). 然后，将（Gamma）的重正化定义为（Gammamapsto上的{R}（Gamma）+S^\phi_R（Gamma））。本文的第一节讨论了一个特殊的例子，详细讨论了它的重整化，以说明以下各节的所有代数结构是如何自然出现的。第三节到第七节讨论了费曼图的李代数和霍普夫代数的代数理论，重点介绍了1-粒子不可约图的概念，它们是所有费曼图的生成者，通过\（\星\）运算。此外，还讨论了双度作为比环数更自然的（{mathcal H}）上的分级的概念。本文的最后几节致力于更高级的主题，例如Dyson-Schwinger方程到Euler积的唯一因式分解和重整化的Hochschild上同调方面。有关整个系列，请参见[兹比尔1061.00007].审核人：多梅尼科·菲奥伦萨（罗马） 引用于14文件 MSC公司： 81T18型 费曼图 81T15型 量子场论问题的微扰重整化方法 80年第30季度 费曼积分与图；代数拓扑与代数几何的应用 16瓦30 Hopf代数（结合环和代数）（MSC2000） 关键词：重新规范化;费曼图;霍普夫代数;量子场论 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{D.Kreimer}，程序。交响乐团。纯数学。73、48-78（2005年；Zbl 1088.81077） 全文： arXiv公司