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金浩·拜克;杰拉德·本·阿鲁斯;佩奇，桑德琳

非零复样本协方差矩阵最大特征值的相变。 （英语） 兹比尔1086.15022

安·普罗巴伯。 第5期第33页，1643-1697页（2005年）.
研究了（N）维随机Gram矩阵（“协方差矩阵”）（S=M^{-1}（X-\bar X）（X-\barX）^T）的最大特征值分布，其中（X）是矩形（N倍M）样本矩阵，其列是分布为（N（0，Sigma）的观测向量，而（X）则是样本平均向量。假设\（N，M\rightarrow\infty）和\（M/N\rightarrow\gamma^2>1）。在这种渐近性中，当（Sigma）是单位矩阵时，V.A.马尔琴科和洛杉矶牧场[数学.苏联，Sb.1，457–483（1967；Zbl 0162.22501号)]导出了\（S\）的特征值的众所周知的极限分布密度；其上限为\（（1+1/\gamma）^2）。在这种情况下，极限分布的最大特征值（λ_1）由下式得出P.J.福雷斯特【Nucl.Phys.B 402，No.3，709–728（1993；Zbl 1043.82538号)]
\[\mathbb P（aM^{2/3}（\lambda_1-（1+1/\gamma）^2<x）\rightarrow F（x），\tag{1}\]
其中，\（a\）仅取决于\（\gamma\）。
当（Sigma）的特征值与1不同时，作者发现了复矩阵（S）的最大特征值（lambda_1）的极限分布。设\（\Sigma\）的（r\leq N\）和特征值\（l_1\geq l_2\geq\dots l_N\）是这样的\（l_{r+1}=l_{r+2}=dots=l_N.）
定理1表明
（i） 如果\（k\leqr），\（l_1=l_2=\dots=l_k=1+1/\gamma\）和所有\（lambda_j），\；
（ii）如果对于某些\（k\leqr），特征值\（l_1=l_2=\dots=l_k\）位于\（（1+1/\gamma，\infty）\内的紧集上，并且所有特征值\\[\mathbb P（aM^{1/2}（\lambda_1-c）\leq x）\到G_k（x），\]其中，（a>0）和（c<l_1）取决于（gamma）和（l_1。
定理2在中间情况下建立了极限分布（1）。考虑了两个应用：求渗流问题的最后通过时间和在固定服务顺序下，（N）出纳员行中（M）个客户的序列服务的排队模型。
审核人：瓦迪姆·塞尔多博尔斯基（莫斯科）

引用于15评论
引用于305文件

MSC公司：

15B52号 随机矩阵（代数方面）
60B12号机组 向量值随机变量的极限定理（无穷维情形）
62E20型 统计学中的渐近分布理论
15甲18 特征值、奇异值和特征向量
60E05型 概率分布：一般理论
82B26型 平衡统计力学中的相变（一般）
60K35型 相互作用的随机过程；统计力学类型模型；渗流理论
60K25码 排队论（概率论方面）

关键词：

样本协方差;极限定理;Tracy-Widom分发;艾里核;随机矩阵;最大特征值分布;随机Gram矩阵;协方差矩阵;极限分布;渗滤;排队

引文：

Zbl 0162.22501号;Zbl 1043.82538号
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{J.Baik}等人，Ann.Probab。33，编号51643-1697（2005年；兹bl 1086.15022）
全文： DOI程序 arXiv公司

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