大庆湾 德沃克猜想的高阶情形。 （英语） Zbl 1086.11030号 美国数学杂志。Soc公司。 13，第4期，807-852（2000）. 设\（X\）是有限域\（\mathbb）上的代数变种{F} （_q）\)特征\（p>0\）。著名的威尔猜想之一是，先验定义为某种幂级数的（X）的zeta函数（X，T）实际上是（T）中的有理函数。这个猜想首先由B.装饰【美国数学杂志。82，631-648（1960；Zbl 0173.48501号)]通过（p\）-adic分析。后来，A.Grothendieck基于\（\ell\）-adic上同调给出了不同的证明。在续集中，B.德沃克开始研究zeta函数在超过（mathbb）的代数族变种中的变化{F} （_q）\)这使他研究了某些其他zeta函数，即所谓的单位根zeta函数。这些函数本质上是解析函数，通常不再是有理函数，这使得了解它们的基本解析性质变得尤为重要。在这种情况下，B.Dwork猜想单位根zeta函数必须是基亚纯的，也就是说，它应该可以表示为两个幂级数的商，它们在完成（mathbb）时处处收敛{Q} （p）\). 在20世纪70年代初，德沃克自己能够证明他对曲线和曲面的特殊族的这种猜想，但对这种困难猜想的一般证明必须等到D.Wan的审查工作完成。同时，我们发现单位根zeta函数可以解释为（F）晶体在各自变种族的基空间上的（L）-函数，这最终证明是处理Dwork猜想的正确方法。正在审查的论文是连续两篇文章中的第一篇，它在所谓的高阶案例中提供了德沃克猜想的完整证明，而随后的论文[参见：D.万《美国数学杂志》。Soc.13，No.4，853–908（2000；Zbl 1086.11031号)]完成剩下的案件，即所谓的一级案件。作者在前面两篇题为“德沃克猜想简介”的文章中概述了他对德沃克猜测的独创性方法[Fried，Michael D.（ed.），《有限域上曲线的应用》，1997 AMS-IMS-SIAM联合夏季研究会议，1997年7月27日至31日，美国华盛顿州西雅图。普罗维登斯，RI：美国数学学会。康斯坦普。数学。245, 147–163 (1999;Zbl 0977.11028号)]和“德沃克关于单位根zeta函数的猜想”[Ann.Math.（2）150，No.3，867-927（1999；Zbl 1013.11031号)]在其中，他在一个更一般的背景下，即根据他新建立的“\（\西格玛\）-模”和“完全离散估值环上的过收敛幂级数环”，提出了这个猜想。Wan’s（sigma）-模是F晶体的适当推广，其相关L函数的基本分析性质构成了他精细研究的关键部分。主要定理在这一广义框架中进行了阐述，其完整证明在所审查的两篇连续论文中完成，内容如下：定理1.1。设（X）是定义在有限域上的光滑仿射簇{F} （_q）\)特征\（p>0\）。设（M，Phi）是（X）上的有限秩超收敛模。然后，对于任意有理数，附属于（M，Phi）的纯斜率-（s）-函数（L_（Phi，T））处处是（p）-根亚纯的。这个定理对德沃克长期以来的猜想给出了肯定的回答，甚至表明这个猜想具有更大的普遍性。关于本论文第一部分的内容，这只是一篇代数性质的论文，共有10节详细讨论了以下主题：（1）引言和主要结果；（2） \（\ sigma \）-模块及其\（L \）-函数；（3） 蒙斯基迹公式；（4） 模的Hodge-Newton分解和Dwork猜想；（5） 德沃克猜想的一个简单例子；（6） 德沃克猜想的一般情况；（7） 德沃克猜想的非同寻常案例；（8） 德沃克猜想的一般情况；（9） 简化为基本方案\（\mathbb{A}^n\）；（10） 附录：扩展Monsky跟踪公式的证明。基本上，作者将Dwork猜想从任何光滑仿射簇上的高秩情形简化为仿射空间（mathbb{A}^n）上的秩一情形。在接下来的第二部分中，主要定理（定理1.1）的证明是通过证明Dwork猜想在（mathbb{A}^n）上的秩为1的情况来完成的。总之，这对围绕德沃克猜想的发展是一个非常重要的贡献，它最终提供了一个漫长而迷人的故事，并有一个美好的结局。这篇论文包含了非常丰富的新思想、新概念、新结构和新结果，因此非常详细、清晰和易懂。审核人：沃纳·克莱因茨（柏林） 引用于2评论引用于24文件 MSC公司： 11国40 \（L）-品种在全球范围内的功能；Birch-Swinnerton-Dyer猜想 11系列40 Zeta函数和\（L\）-函数 11米41 其他Dirichlet级数和zeta函数 11国道25号 有限域和局部域上的簇 11国集团15 阿贝尔品种的复数乘法和模 14国集团10 Zeta函数和代数几何中的相关问题（例如Birch-Swinnerton-Dyer猜想） 关键词：有限域上的代数簇;\（L\）-函数;zeta函数;\（p\）-adic分析;德沃克猜想 引文：Zbl 0173.48501号;Zbl 0977.11028号;Zbl 1013.11031号;Zbl 1086.11031号 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{D.Wan}，J.Am.数学。Soc.13，No.4，807--852（2000；Zbl 1086.11030） 全文： 内政部 arXiv公司 参考文献： [1] 皮埃尔·贝瑟洛特（Pierre Berthelot），《哥伦布的僵化和上同调》（Géométrie rigide et cohomologie des variés algébriques de caractéristique）？，梅姆。社会数学。法国（N.S.）23（1986），3，7–32（法语，带英语摘要）。辅助上同调介绍\-adiques（鲁米尼，1984）·Zbl 2017年6月16日 [2] Pierre Berthelot，Finitude et puretécohologique en cohologie ridge，发明。数学。128（1997），第2期，329–377（法语）。附有Aise Johan de Jong的英文附录·兹伯利0908.14005 ·doi:10.1007/s002220050143 [3] Pierre Deligne，《Weil猜想》。二、 高等科学研究院。出版物。数学。52（1980），137-252（法语）·Zbl 0456.14014号 [4] A.J.de Jong，Barsotti-Tate groups and crystals，《国际数学家大会论文集》，第二卷（柏林，1998年），1998年，第259-265页·Zbl 0919.14029号 [5] B.Dwork，归一化周期矩阵。I.平面曲线，数学年鉴。(2) 94 (1971), 337 – 388. , https://doi.org/10.2307/1970865B.Dwork，归一化周期矩阵。II、 数学安。(2) 98 (1973), 1 – 57. ·Zbl 0265.14008号 ·数字对象标识代码：10.2307/1970905 [6] B.Dwork，归一化周期矩阵。I.平面曲线，数学年鉴。(2) 94 (1971), 337 – 388. , https://doi.org/10.2307/1970865B.Dwork，归一化周期矩阵。II、 数学安。(2) 98 (1973), 1 – 57. ·Zbl 0265.14008号 ·数字对象标识代码：10.2307/1970905 [7] Jean-Yves Es tesse和Bernard Le Stum，基金会？辅助协会-等容线超收敛。I.插值上同调，数学。Ann.296（1993），第3期，557–576（法语）·Zbl 0789.14015号 ·doi:10.1007/BF01445120 [8] 威廉·富尔顿，弱完备代数的一个注记，布尔。阿默尔。数学。Soc.75（1969），591-593·Zbl 0205.34303号 [9] 尼古拉斯·卡茨（Nicholas Katz），《特拉沃·德·德沃克》（Travaux de Dwork），塞米纳伊尔·布尔巴吉（Séminaire Bourbaki），《24ème anne》（1971/1972），《第409号快报》，柏林斯普林格出版社，1973年，第167-200页。数学课堂笔记。，第317卷（法语，附英语摘要）。 [10] Nicholas M.Katz，斜坡过滤-《晶体》，《盖洛梅特里·阿尔盖布里克·德雷恩之旅》（雷恩，1978），《阿斯特里斯克》，第63卷，《社会数学》。法国，巴黎，1979年，第113-163页·兹比尔0426.14007 [11] B.Mazur、Frobenius和Hodge过滤，公牛。阿默尔。数学。Soc.78（1972），653-667·Zbl 0258.14006号 [12] Z.Mebkhout，《上同调有限性》-阿默尔，adique d'une variétéaffine non-singulière。数学杂志。119（1997），第5期，1027–1081（法语，附法语摘要）·Zbl 0926.14007号 [13] Paul Monsky，形式上同调。三、 不动点定理，数学年鉴。(2) 93 (1971), 315 – 343. ·Zbl 0213.47501号 ·数字对象标识代码：10.2307/1970777 [14] 保罗·蒙斯基，\-adic分析和zeta函数，《数学讲座》，京都大学数学系，第4卷，Kinokuniya书店有限公司，东京，1970年·Zbl 0256.14009号 [15] 马吕斯·范德普特（Marius van der Put），《Monsky和Washnitzer的上同调》，梅姆。社会数学。法国（N.S.）23（1986），4，33–59（英语，法语摘要）。辅助上同调介绍\-adiques（鲁米尼，1984）·Zbl 2018年6月6日 [16] Jean-Pierre Serre，《巴纳赫空间的连续自同态》-高级科学研究所adiques。出版物。数学。12（1962），69–85（法语）·Zbl 0104.33601号 [17] 万大庆，幂级数环的Noetherian子环，Proc。阿默尔。数学。Soc.123（1995），第6号，1681–1686·Zbl 0858.13006号 [18] 大庆湾，\？的亚纯延拓-\？的函数-基本表示法，数学年鉴。（2） 143（1996），第3期，469–498·Zbl 0868.14011号 ·doi:10.2307/2118533 [19] D.Wan，德沃克关于单位根zeta函数的猜想，《数学年鉴》。，150(1999), 867-927. 凸轮轴位置2000:08·兹比尔1013.11031 [20] D.Wan，Dwork猜想简介，《当代数学》，245（1999），147-163。凸轮轴位置2000:09·Zbl 0977.11028号 [21] Wan，有限域上代数几何的纯L函数，Proc。奥格斯堡有限域会议，即将发布·Zbl 0974.14016号 [22] D.Wan，完全交叉口zeta函数的极点，中国数学年鉴。，出现·Zbl 0973.14009号 [23] D.Wan，德沃克猜想的一个例子，J.Amer。数学。Soc.，这个问题·Zbl 1086.11031号 此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。