穆勒，S。;Šverák，V。 Lipschitz映射的凸积分和正则性反例。 （英语） Zbl 1083.35032号 安。数学。(2) 157，第3期，715-742（2003）. 在这篇非常有趣的论文中，作者解决了椭圆系统正则性理论中的一个长期存在的问题。设\（\Omega\）是\（{\mathbb R}^2）的一个开磁盘，并设\（u\）表示一个映射\（u:\Omega \到{\mathbb R}^2）。作者证明了变分积分的存在性\[I（u）\；：=\；\int_\Omega F（\nabla u）\tag{1}\]这样的话（a） \（F\）是光滑的、强拟凸的，并且具有有界的二阶导数；（b） （I）的Euler–Lagrange方程有一大类Lipschitz弱解，这些弱解在任何地方都不存在（C^1）。这与众所周知的\（I\）极小元的部分正则性相反，由L.C.埃文斯《机械分析学基础比率》95、227–252（1986；Zbl 0627.49006号)]. 这一结果是用一种新的原始方法得到的，与椭圆系统正则性的经典反例有很大不同。作者将求（1）解的任务简化为求解类型的相关偏微分包含\[\nabla v \in K\qquad{\text{代表a.e.}}x \in Omega，\tag{2}\]其中，\（v\）是从\（\Omega\）到\（{\mathbb R}^4\）的Lipschitz映射。然后，他们通过将Gromov偏微分关系理论的一个推广与巧妙地使用矩阵的某些特殊配置（称为{mathbb T}_4）相结合，构造了（2）的粗糙解。（m次n）矩阵的（{mathbb T}_4）构形是一组四个矩阵（m:={m_1，m_2，m_3，m_4}），使得每一个（j次i）的（{秩}（m_i-m_j）>1，但（m）的秩-一凸包相当大。在过去二十年中，许多作者独立地发现了这种构形的存在；在与本文密切相关的上下文中，L.Tartar首先指出了这一点。Müller和Sverak的方法最近得到了改进L.Szekelyhidi公司[《机械与结构分析》第172卷第1期，第133-152页（2004年；Zbl 1049.49017号)]其中，作者显示了一些多凸被积函数的相同病理学。非线性偏微分方程与矩阵集壳问题之间的联系已在许多其他情况下得到了有效的应用；参考感兴趣的读者[B.Kirchheim，S.米勒和V.斯韦拉克，“在矩阵空间中用几何方法研究非线性偏微分方程。Hildebrandt，Stefan（编辑）等人，《几何分析和非线性偏微分方程》柏林：施普林格，347-395（2003；Zbl 1290.35097号)]. 最后，作者提到，最近他们意识到了关于椭圆系统正则性问题的一些重要的部分结果，这些结果是由V.谢弗在《非线性二阶椭圆型偏微分方程组和不等式组解的正则性和不正则性，普林斯顿大学论文（1974年，未出版）》中使用了非常相似的观点。这项工作似乎从未在期刊上发表过，也没有得到应有的关注。审核人：卡米洛·德·莱利斯（苏黎世） 引用于6评论引用于124文件 MSC公司： 35D10号 偏微分方程广义解的正则性（MSC2000） 35J45型 椭圆方程组，通用（MSC2000） 35J50型 椭圆方程组的变分方法 49J10型 两个或多个自变量自由问题的存在性理论 49N60型 最优控制中解的正则性 关键词：椭圆系统;规律性;偏微分关系;凸积分 引文：Zbl 0627.49006号;Zbl 1049.49017号;Zbl 1290.35097号 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{S.Muller}和\textit{V.Šverák}，Ann.数学。（2） 157，第3号，715--742（2003；Zbl 1083.35032） 全文： 内政部 arXiv公司 欧几里得