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克拉塔格，B。;门德尔森，S。

经验过程和随机预测。 （英语） Zbl 1079.60033号

J.功能。分析。 225，第1期，229-245（2005）。
在引言中，作者解释了本文的目的是给出一些经验过程的上确界，并将这些上确界用于某些几何问题。本研究的动机是以下问题：设（X_1，dots，X_k）为（mathbb{R}^n）中的独立随机向量，设（Gamma:mathbb}R}^n\tomathbb[R}^k）为随机算子（Gammav=sum^k{i=1}（X_i，v）e_i），其中（e_1，dots，e_k）是（mathbb{R}）中的标准正交基。假设任意（1）和任意（S^{n-1}中的t）的（mathbb{E}（X_i，t）^2=1），其中，（S^}n-1}\）表示（mathbb{R}^n）中的欧几里德单位球。给定一个子集（T子集S^{n-1}），问题是（随机）算子（{1\over\sqrt{k}}\Gamma:\ell^n_2\to\ell^k_2）是否几乎保持了（T）所有元素的范数。为了确保\（\Gamma\）在\（T\）上几乎保持范数，分析随机变量的上确界（Z^k_T={1\overk}\|\Gamma_T\|^2_{\ell^k_2}\to1\）就足够了，并证明正概率\（\sup_{T\inT}|Z^k_T|\）足够小。
一个重要的例子是，随机向量（X=（xi^i_1，dots，xi^i_n）和（xi^i _j）^n_{i，j=1}）是期望值为（0）、方差为1且具有次高斯尾部的独立随机变量，因此（Gamma）是一个随机的（k次n）次高斯矩阵。每个（Z^k_t）中应用一个标准的集中参数分别显示\（|T|=n\）和if\（k\geqc{\log n\ over \varepsilon^2}\），那么每个\（T\ in T\）的概率都很高，\[1-\varepsilon\leq{1\over\sqrt{2}}\|\Gamma t\|_{\ell^k_2}\leq1+\varepsilon，\]从而几乎保留了\（T）中所有元素的范数。这个事实是著名的Johnson-Lindenstraus引理的基础[W.B.约翰逊和J.林登斯特劳斯，内容。数学。26189-206（1984年；Zbl 0539.46017号)]，研究了在更小维的Hilbert空间中几乎等距嵌入\（\ell_2）的能力；也就是说，对于\（A\子集\ ell_2），要找到一个映射\（f:T\到\ ell^k_2），这样对于A\中的任何\（s，T\），\[（1-\varepsilon）\|s-t \|{t2}\leq\|f（s）-f（t）\|{ell^k_2}\leq（1+\varepsilon）\ |s-t \ |{ell_2}。\]约翰逊和林登斯特劳斯证明了以下几点
定理。存在一个绝对常数\（c），如下所示。如果\（A\子集\ ell_2 \）、\（|A|=n \）和\（k=c{\log n\over\varepsilon^2}\），则存在\（varepsilen\）-等距\（f:\ell_2\ to \ell^k_2 \）。
但是Johnson-Lindenstraus引理中归一化差集（T\）的“复杂性参数”并不能满足集（T_）基数的对数。
定义。对于度量空间（（T，d）），在T}\sum^\infty_{s=0}2^{s/\alpha}d（T，T_s）中定义（\gamma_\alpha（T，d）=\inf\sup_{T\T）。如果一个过程是由一组具有相同L_2范数的函数索引的，那么可以以非零概率删除边界的（gamma_1）部分。
本文的第二部分致力于通用链接，最后一部分讨论了经验过程。
审核人：G.G.Vrénceanu（布库雷什蒂）

引用于1审查
引用于23文件

MSC公司：

60G15年 高斯过程
46个B07 Banach空间的局部理论
46个B09 巴拿赫空间理论中的概率方法
52A22型 随机凸集和积分几何（凸几何的方面）
60D05型 几何概率与随机几何

关键词：

随机投影;通用链接;经验过程

引文：

Zbl 0539.46017号
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{B.Klartag}和\textit{S.Mendelson}，J.Funct。分析。225，编号1，229--245（2005；Zbl 1079.60033）
全文： 内政部

参考文献：

[1] S.Artstein，随机符号投影下凸体直径的变化。函数分析的几何方面，数学讲义，第1850卷，施普林格，柏林，2004年，第31-39页。；S.Artstein，在随机符号投影下凸体直径的变化。函数分析的几何方面，数学讲义，第1850卷，施普林格，柏林，2004年，第31-39页·Zbl 1071.52005年
[2] Bennett，G.，独立随机变量和的概率不等式，J.Amer。统计师。协会，57，33-45（1962）·Zbl 0104.11905号
[3] Dudley，R.M.，统一中心极限定理，（剑桥高等数学研究，第63卷（1999），剑桥大学出版社：剑桥大学出版社）·Zbl 0951.60033号
[4] Fernique，X.，Régular itédes trajectoires des foctiones aléatoires gaussiennes，（圣面粉概率学院，1974年，数学讲义，第480卷（1975年），施普林格：施普林格柏林），1-96·兹比尔0331.60025
[5] 吉内，E。；Zinn，J.，经验过程的一些极限定理，Ann.Probab。，12, 4, 929-989 (1984) ·Zbl 0553.60037号
[6] Y.Gordon，关于Milman不等式和通过网格逃逸的随机子空间；Y.Gordon，关于Milman不等式和通过网格逃逸的随机子空间·Zbl 0651.46021号
[7] 约翰逊，W.B。；Lindenstrauss，J.，Lipschitz映射到Hilbert空间的扩展，Contemp。数学。，26, 189-206 (1984) ·Zbl 0539.46017号
[8] Milman，V.D.，《渐近几何分析主题》，（几何和函数分析，（特别卷-GAFA2000）（2000），Birkhäuser:Birkháuser Basel），792-815·Zbl 0996.46010号
[9] 米尔曼，V.D。；Schechtman，G.，有限维赋范空间的渐近理论，（数学讲义，第1200卷（1986），Springer:Springer-Blin）·Zbl 0911.52002号
[10] Pajor，A。；Tomczak-Jaegermann，N.，有限维Banach空间的小余维子空间，Proc。阿默尔。数学。《社会学杂志》，97,4637-642（1986）·Zbl 0623.46008号
[11] Preston，C.，由一些积分不等式产生的Banach空间，印第安纳数学。J.，20997-1015（1971）·Zbl 0228.46024号
[12] Preston，C.，一些高斯过程的连续性性质，数学。统计人员。，43, 285-292 (1972) ·Zbl 0268.60044号
[13] Schechtman，G.，关于Dvoretzky定理中对（varepsilon）的依赖性的评论。函数分析的几何方面（1987-88），（数学讲义，第1376卷（1989），施普林格：施普林格柏林），274-277·Zbl 0679.46011号
[14] Talagrand，M.，高斯过程的正则性，数学学报。，15999-149（1987年）·Zbl 0712.60044号
[15] Talagrand，M.，《优化措施，通用链》，Ann.Probab。，24, 1049-1103 (1996) ·Zbl 0867.60017号
[16] Talagrand，M.，《无措施的多数化措施》，Ann.Probab。，29, 411-417 (2001) ·Zbl 1019.60033号
[17] M.Talagrand，《通用链》，即将出版。；M.Talagrand，《通用链接》，即将出版·Zbl 0867.60017号
[18] 范德法特，A.W。；Wellner，J.A.，《弱收敛与经验过程》（1996），《施普林格：施普林格-柏林》·Zbl 0862.60002号
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