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爱德华·鲁伊延加

由安排定义的压实。二： IV型局部对称变种。 （英语） Zbl 1079.14045号

杜克大学数学。J。 119，第3期，527-588（2003）。
二十年来，这篇文章的出处与发表时间相去甚远，在此期间，它所描述的技术获得了新的相关性和进一步的应用。这里给出了许多例子，因此，它远远超出了1985年奈梅亨预印本的修订版（尽管其中包含）【奈梅根大学8520号报告，半定量部分压缩I；每本书】，这是它的第一个版本。
主要结果是关于局部对称变种（开放部分）的一类新紧化的构造和描述。在这里，我们计算出了IV型局部对称变种，这与论文第一部分研究的球商案例一起[Duke Math.J.118，No.1，151-187（2003；Zbl 1052.14036号)]涵盖了迄今为止发现的所有应用程序。紧化是根据对称域（{mathbb D}）的超平面截面的算术排列（{mathcal H}）定义的：即在某些算术群（Gamma）下局部有限且不变的紧化。因此，\（｛\mathcal H｝\）定义了一个超曲面\（D\subet X＝\ Gamma\反斜杠｛\mathbb D｝\）。但在（X）的Baily-Borel紧化（X^{text{bb}}）中，（D）的闭包一般不是（{mathbbQ}）-Cartier。特别是，它通常不是由自同构形式定义的。因此，应该选择一个适合于对\（（X，D）\）的紧致化，即以尽可能自然的方式适应\（X^\circ=X\setminus D\）。这里构造的是（X^\circ）的这样一个紧化。
要构造\（widehat{X^\circ}\），首先沿边界爆破\（X^{text{bb}}\）以使\（D）闭包的每个不可约分量都是卡地亚除数（或至少是\（{mathbb Q}\）-Cartier）。为了既经济又建设性地做到这一点，可以利用\（D\）提供的组合数据。程序的这一部分是符号部分紧化的特例，最初在奈梅亨预印本和§§3–6中进行了描述。这些紧化在一个极端包括Baily-Borel紧化，在另一个极端则包括Mumford意义上的环形紧化。算术超平面排列（{mathcal H}）诱导了这样一种紧化（X^{Sigma（{mathcal H}）}），由一些满足比扇形锥弱的相容条件的锥给出。琐碎的数据（单个锥体，（0））恢复了Baily-Borel压实作用。对于§3中的（1）维边界分量和§4中的（0）维边界成分，描述了结构：在IV型情况下，没有其他情况需要考虑。
（X^\Sigma）具有所需属性的证明没有完全给出。相反，出于篇幅和清晰度的原因，作者给出了一个提纲，并参考了未出版的奈梅亨预印本以获取详细信息。然而，提纲对专家来说已经足够了，奈梅亨预印本的细节已经由几个人独立检查过，其中包括评论员。
（widehat{X^\circ}）结构的另一部分如下§5所示。它发生在\（X\）内，而不是在尖端。人们对（D）进行了一些双有理修改，与第一部分的球商（酉）情况没有太大不同。想要这样做的原因是，在\（\ widehat{X^\circ}\）上有一个足够的线束\。下文描述了这种情况的一些后果。
甚至在给出结构之前，这篇论文就包含了很多有趣的内容。前两节介绍局部对称变种的边界分量和Baily-Borel紧化。在§3中，除了已经提到的以外，还给出了一个简单的标准（命题3.4），即在（X^{text{bb}}）中，（D\）的闭包是Cartier除数（类似的结果可以在其他地方找到，例如J.H.布鲁尼尔和E.弗雷塔格【《傅里叶研究年鉴》51，第1期，第1-27页（2001年；Zbl 0966.11021号)]). 利用这一点，作者证明了亏格（g>2）的充分极化（K3）曲面的模空间不可能是仿射的，与下面描述的（g=2）情形相反R.E.Borcherds公司等人[J.Algebr.Geom.7，No.1，183-193（1998；Zbl 0946.14021号)]. 换句话说，亏格（g）的（K3）曲面模空间中的判别轨迹不能用自守形式定义。然而，作者断言，判别轨迹对于\（g>2）是不可约的，尽管他没有使用这一点，也没有试图证明它。这是一个错误：如果\（g=0 \pmod 4），这是错误的。
§5中的管域布局分析包括关于产品扩展定义的布局的小节。在这种情况下，对Weyl群有很强的限制，这导致了对镜像对称猜想第一部分的证明V.A.格里森科和V.V.尼库林[《国际数学杂志》9，第2期，153-199（1998年；Zbl 0935.11015号)]. 在签名\（（2，26）\）的偶单模格（两个双曲平面加上Leech格）的情况下，我们验证了定义与根正交的超平面的乘积公式应该存在：当然存在，它是Borcherds的著名分母公式。
关于算术安排的主要结果汇总在§7中。特别地，在相当弱的条件下，我们认为环\（R＝\bigoplus H^0（｛\mathbb D｝^\circ，｛\mathcal O｝（｛\mathbb L｝^k））^\Gamma\）是有限生成的（正度），并且\（X ^\circ=\text{项目}R\). 这个项目通常是作为GIT商出现的。引言中列出了一些与（K3）曲面相关的示例。
本文最后对三种情况进行了较为详细的描述，并与它们的历史发展顺序相反：（K3）曲面、Enriques曲面和三角形奇异模。Enriques曲面上的结果主要是由于H.斯特克[数学Z.220，第3期，427–444（1995；Zbl 0841.14031号); 同上，第207号，第1条，第1-36条（1991年；Zbl 0736.14017号)]. 早在1980年，关于三角形奇点的工作就为作者考虑这一思想圈提供了第一个动机。
审核人：G.K.Sankaran（巴斯）

引用于6评论
引用于39文件

MSC公司：

14日J15 模数，分类：分析理论；与模形式的关系
32N15号 对称域中的自守函数
14J27型 椭圆表面、椭圆或Calabi-Yau纤维
14层28 \（K3）曲面和Enriques曲面
32秒22 与超平面排列的关系

关键词：

局部对称变种;压实;模块化形式;\（K3\）表面

引文：

Zbl 1052.14036号;Zbl 0966.11021号;Zbl 0946.14021号;Zbl 0935.11015号;Zbl 0841.14031号;Zbl 0736.14017号
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\textit{E.Looijenga}，杜克数学。J.119，第3号，527--588（2003；Zbl 1079.14045）
全文： 内政部 arXiv公司

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